Considere uma caçamba aberta sobre uma esteira em movimento horizontal para direita com velocidade
a massa inicial e
velocidade inicial. Sendo que a medida que a caçamba avança a chuva vertical a atinge fazendo a sua massa aumentar à razão
. Encontre a relação
para o movimento da caçamba na chuva.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está pedindo na questão. Temos uma caçamba aberta sobre uma esteira que está se movendo horizontalmente para a direita com uma velocidade inicial
. A massa inicial da caçamba é
. À medida que a caçamba avança, gotas de chuva caem verticalmente e são coletadas pela caçamba, fazendo com que a massa da mesma aumente a uma taxa de
kg/s. Nosso objetivo aqui é encontrar a relação
, ou seja, como a velocidade da caçamba muda ao longo do tempo enquanto ela coleta a chuva.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, mais especificamente, da lei da conservação da quantidade de movimento para sistemas com massa variável. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a quantidade de movimento (
) de um objeto é dada por:
Onde:
-
é a massa -
é a velocidade
Como a massa da caçamba está aumentando devido à chuva, estamos lidando com um sistema de massa variável. Para tais sistemas, a conservação da quantidade de movimento ainda se aplica, mas precisamos levar em conta a entrada de massa.
Passo 3
Vamos considerar um pequeno intervalo de tempo
. Nesse intervalo:
- A massa inicial da caçamba é
- A massa adicionada pela chuva é
- A massa final é
Supondo que a chuva está caindo verticalmente, a velocidade horizontal da nova massa adicionada (as gotas de chuva) é inicialmente zero em relação ao solo. Mas, após serem coletadas pela caçamba, elas passam a ter a mesma velocidade da caçamba,
.
Passo 4
Aplicando a conservação da quantidade de movimento no intervalo
:
Inicialmente, a quantidade de movimento é:
A quantidade de movimento das gotas que entram na caçamba é:
Após o intervalo de tempo, a quantidade de movimento final é:
Passo 5
Combinando as equações:
Dividindo ambos os lados por
:
Assumindo que
é muito pequeno, podemos aproximar
. Assim, a equação fica:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial que relaciona
com
:
Sabemos que a massa está aumentando a uma taxa constante
, então:
Substituindo isso na equação diferencial:
Passo 7
Essa é uma equação diferencial de separáveis. Podemos rearranjá-la para separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Passo 8
Integrando o lado esquerdo:
No lado direito, fazemos a substituição
, então
. Assim:
Portanto, a equação fica:
Passo 9
Para resolver para
, exponenciamos ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Para determinar
, usamos a condição inicial. Quando
,
:
Resposta
Substituindo
na equação de
:
Então, a relação da velocidade da caçamba em função do tempo é:
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