Considere uma caçamba aberta sobre uma esteira em movimento horizontal para direita com velocidade v, m0 a massa inicial e v0 velocidade inicial. Sendo que a medida que a caçamba avança a chuva vertical a atinge fazendo a sua massa aumentar à razão gamma(kg / s). Encontre a relação de v(t) para o movimento da caçamba na chuva.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está pedindo na questão. Temos uma caçamba aberta sobre uma esteira que está se movendo horizontalmente para a direita com uma velocidade inicial . A massa inicial da caçamba é . À medida que a caçamba avança, gotas de chuva caem verticalmente e são coletadas pela caçamba, fazendo com que a massa da mesma aumente a uma taxa de kg/s. Nosso objetivo aqui é encontrar a relação , ou seja, como a velocidade da caçamba muda ao longo do tempo enquanto ela coleta a chuva.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, mais especificamente, da lei da conservação da quantidade de movimento para sistemas com massa variável. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a quantidade de movimento ( p = m cdot v ) de um objeto é dada por:
Onde:
  • é a massa
  • é a velocidade
Como a massa da caçamba está aumentando devido à chuva, estamos lidando com um sistema de massa variável. Para tais sistemas, a conservação da quantidade de movimento ainda se aplica, mas precisamos levar em conta a entrada de massa.

Passo 3

Vamos considerar um pequeno intervalo de tempo . Nesse intervalo:
  • A massa inicial da caçamba é
  • A massa adicionada pela chuva é
  • A massa final é
Supondo que a chuva está caindo verticalmente, a velocidade horizontal da nova massa adicionada (as gotas de chuva) é inicialmente zero em relação ao solo. Mas, após serem coletadas pela caçamba, elas passam a ter a mesma velocidade da caçamba, .

Passo 4

Aplicando a conservação da quantidade de movimento no intervalo Quantidade de movimento inicial + Quantidade de movimento das gotas = Quantidade de movimento final :
pinicial = m(t) cdot v(t)
Inicialmente, a quantidade de movimento é:
pgotas = De
A quantidade de movimento das gotas que entram na caçamba é:
pfinal = (m(t) + De
Após o intervalo de tempo, a quantidade de movimento final é:

Passo 5

Combinando as equações:
m(t) cdot v(t) + 0 = (m(t) + De
Dividindo ambos os lados por m(t) cdot v(t) - v(t + De:
m(t) cdot dvdt = gamma cdot v(t)
Assumindo que é muito pequeno, podemos aproximar . Assim, a equação fica:

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial que relaciona dvdt = gammam(t) cdot v(t) com m(t) = m0 + gamma t :
dvdt = gammam0 + gamma t cdot v(t)
Sabemos que a massa está aumentando a uma taxa constante , então:
Substituindo isso na equação diferencial:

Passo 7

Essa é uma equação diferencial de separáveis. Podemos rearranjá-la para separar as variáveis dvv = gammam0 + gamma t dt e integral 1v dv = integral gammam0 + gamma t dt :
Agora, vamos integrar ambos os lados:

Passo 8

Integrando o lado esquerdo:
ln |v| = integral gammam0 + gamma t dt
No lado direito, fazemos a substituição integral gammam0 + gamma t dt = integral 1u du = ln |u| + C = ln |m0 + gamma t| + C , então ln |v| = ln |m0 + gamma t| + C . Assim:
Portanto, a equação fica:

Passo 9

Para resolver para v = K cdot (m0 + gamma t) , exponenciamos ambos os lados:
v0 = K cdot m0 Rightarrow K = v0m0
Onde é a constante de integração. Para determinar , usamos a condição inicial. Quando , :

Resposta

Substituindo v(t) = v0m0 cdot (m0 + gamma t) = v0 (1 + gamma tm0) na equação de v(t) = v0 (1 + gamma tm0) :
Então, a relação da velocidade da caçamba em função do tempo é:

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