Escrever uma equação geral do plano r que passa pelo ponto A(1, 2 -2) e é paralelo ao plano r 1 : 3x - 2y - 4z + 8 = 0.
a) 3x - 2y - 4z - 8 = 0
b) 3x - 2y - 4z + 7 = 0
c) 3x - 2y - 4z - 7 = 0
d) 3x - 2y - 4z - 6 = 0
e) 3x - 2y - 4z + 8 = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a equação geral de um plano que passa pelo ponto $ A(1, 2, -2) $ e que é paralelo a outro plano dado pela equação $ 3x - 2y - 4z + 8 = 0 $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre planos no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como os planos são determinados por vetores normais e como pontos específicos se relacionam com esses planos.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que um plano no espaço pode ser definido por uma equação na forma geral:
ax + by + cz + d = 0
Aqui, $ (a, b, c) $ é o vetor normal ao plano, ou seja, é um vetor perpendicular ao plano.

Passo 3

Como o plano que queremos encontrar é paralelo ao plano $ r_1: 3x - 2y - 4z + 8 = 0 $, eles precisam ter o mesmo vetor normal. Então, o vetor normal $ \vec{n} $ do plano $ r_1 $ é $ (3, -2, -4) $.

Passo 4

Agora, sabemos que a equação do plano que procuramos também vai ter o mesmo vetor normal. Então, podemos escrever a equação desse plano como:
3x - 2y - 4z + d = 0
Onde $ d $ é uma constante que precisamos encontrar usando o ponto pelo qual o plano passa, que é $ A(1, 2, -2) $.

Passo 5

Vamos substituir as coordenadas do ponto $ A $ na equação do plano para achar $ d $:
A
Portanto, a equação do plano é:
d

Resposta

A equação geral do plano é $ 3x - 2y - 4z - 7 = 0 $. A alternativa correta é a c).

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