Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol. Quantos vértices possui esse poliedro?

Passo 1

Vamos resolver o problema que diz respeito a um poliedro convexo com 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. O objetivo é descobrir quantos vértices possui esse poliedro. Para isso, vamos usar conceitos de geometria sobre poliedros e aplicar a fórmula de Euler, que relaciona vértices, arestas e faces.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula de Euler para poliedros convexos:
V - E + F = 2
Onde:
  • $ V $ é o número de vértices,
  • $ E $ é o número de arestas,
  • $ F $ é o número de faces.

Passo 3

Sabemos que o poliedro tem:
  • 12 faces pentagonais,
  • 20 faces hexagonais.
Então, o número total de faces ($ F $) é:
F

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o número de arestas ($ E $). Cada face pentagonal tem 5 arestas e cada face hexagonal tem 6 arestas.
Primeiro, calculamos o total de arestas considerando cada face individualmente:
E
Contudo, cada aresta é compartilhada por duas faces, então precisamos dividir esse total por 2 para não contar as arestas duas vezes:
Total de arestas = (12 times 5) + (20 times 6) = 60 + 120 = 180

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula de Euler para encontrar o número de vértices ($ V $):
V
Substituindo os valores que já temos:
V - E + F = 2
Simplificando a equação:
V - 90 + 32 = 2
V - 58 = 2

Resposta

O poliedro possui 60 vértices.

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