Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola de futebol. Quantos vértices possui esse poliedro?
Passo 1
Vamos resolver o problema que diz respeito a um poliedro convexo com 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. O objetivo é descobrir quantos vértices possui esse poliedro. Para isso, vamos usar conceitos de geometria sobre poliedros e aplicar a fórmula de Euler, que relaciona vértices, arestas e faces.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula de Euler para poliedros convexos:
Onde:
- $ V $ é o número de vértices,
- $ E $ é o número de arestas,
- $ F $ é o número de faces.
Passo 3
Sabemos que o poliedro tem:
- 12 faces pentagonais,
- 20 faces hexagonais.
Então, o número total de faces ($ F $) é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o número de arestas ($ E $). Cada face pentagonal tem 5 arestas e cada face hexagonal tem 6 arestas.
Primeiro, calculamos o total de arestas considerando cada face individualmente:
Contudo, cada aresta é compartilhada por duas faces, então precisamos dividir esse total por 2 para não contar as arestas duas vezes:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula de Euler para encontrar o número de vértices ($ V $):
Substituindo os valores que já temos:
Simplificando a equação:
Resposta
O poliedro possui 60 vértices.