Escrever equações reduzidas na variável z da reta que passa por A (2,-1,3) e B(2,-2,1).

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para escrever as equações reduzidas na variável da reta que passa pelos pontos e . Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso. Precisaremos entender como encontrar a direção da reta e como expressar as coordenadas e em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. Esse vetor indica a direção em que a reta está “apontando” e é encontrado subtraindo as coordenadas dos pontos AB = B - A = (2 - 2, -2 - (-1), 1 - 3) = (0, -1, -2) e .
Então, o vetor diretor é .

Passo 3

Agora, vamos escrever as equações paramétricas da reta usando o ponto x = x0 + a cdot t e o vetor diretor y = y0 + b cdot t . As equações paramétricas são:
z = z0 + c cdot t
x = 2 + 0 cdot t Rightarrow x = 2
y = -1 + (-1) cdot t Rightarrow y = -1 - t
Onde z = 3 + (-2) cdot t Rightarrow z = 3 - 2t é o ponto e são as componentes do vetor diretor.
Substituindo os valores:

Passo 4

Como queremos as equações reduzidas na variável z = 3 - 2t Rightarrow t = 3 - z2 , vamos isolar o parâmetro na equação de :

Passo 5

Agora, vamos substituir esse valor de x = 2 nas equações de y = -1 - t = -1 - ( 3 - z2 ) = -1 - 32 + z2 = -52 + z2 e para expressá-las em função de :
Para :
Isso significa que é constante e não depende de .
Para :

Resposta

As equações reduzidas na variável x = 2 da reta que passa pelos pontos y = 12 z - 52 e são:

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