Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares resolva a equação nas incógnitas x e y, i.e., escreva os vetores x e y em função de u e v:
l x+2 y=u 3 x-2 y=u+2 v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações envolvendo vetores , , e . O objetivo é encontrar e em função de e . Para isso, vamos usar as propriedades da soma de vetores e da multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
l x + 2y = u 3x - 2y = u + 2v
Aqui, temos duas equações com duas incógnitas vetoriais: e .

Passo 3

Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação. O objetivo é eliminar uma das incógnitas para encontrar a outra. Vamos somar as duas equações para eliminar (x + 2y) + (3x - 2y) = u + (u + 2v) .
Primeiro, somamos as duas equações:

Passo 4

Simplificando a soma dos lados esquerdo e direito:
x + 3x + 2y - 2y = u + u + 2v
Isso fica:
4x = 2u + 2v

Passo 5

Agora, vamos isolar x = 2u + 2v4 = u + v2 . Para isso, dividimos ambos os lados da equação por 4:

Passo 6

Agora que já encontramos x + 2y = u , vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar u + v2 + 2y = u . Vamos usar a primeira equação:
Substituindo :

Passo 7

Vamos isolar 2y = u - u + v2 :
2y = 2u - (u + v)2 = u - v2
Para simplificar, vamos trazer todos os termos para o mesmo denominador:

Passo 8

Finalmente, dividimos ambos os lados por 2 para encontrar y = u - v4 :

Resposta

Os vetores x = u + v2 e y = u - v4 e em função de e são:

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