Calcular a distância entre os planos pi1: x+y+z=4 e pi2: 2 x+2 y+2 z=5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de geometria analítica! A questão pede para calcular a distância entre dois planos: pi1: x+y+z=4 e pi2: 2x+2y+2z=5. Para isso, vamos usar conceitos de vetores normais e fórmulas de distância entre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que os dois planos são paralelos. Isso acontece porque os coeficientes das variáveis x, y e z nos dois planos são proporcionais. No plano pi2, podemos simplificar dividindo todos os termos por 2, ficando x + y + z = 52.

Passo 3

Agora que temos as duas equações dos planos na mesma forma, elas ficam:
  • pi1: x + y + z = 4
  • pi2: x + y + z = 52
Vemos que os planos são paralelos porque têm os mesmos coeficientes angulares.

Passo 4

A fórmula para calcular a distância entre dois planos paralelos é:
Distância = |d2 - d1|raiza^2 + b^2 + c^2 â
onde a, b, c são os coeficientes das variáveis nas equações dos planos, e d1, d2 são os termos constantes.

Passo 5

Identificando os valores na nossa equação:
  • Para pi1: d1 = 4
  • Para pi2: d2 = 52
  • Coeficientes: a = 1, b = 1, c = 1

Passo 6

Substituindo esses valores na fórmula:
Distância = | 52 - 4 |raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = | -32 |raiz3 = 32raiz3 â

Passo 7

Simplificando a expressão:
32raiz3 = 32raiz3 = raiz32
Multiplicamos numerador e denominador por raiz3 para racionalizar.

Resposta

A distância entre os planos pi1 e pi2 é raiz32 unidades.

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