Uma esfera de alumínio que pesa 6 kg e inicialmente à temperatura de 350^circ C, é subitamente imersa num fluido a 30^circ C com um coeficiente de convecção de 60 W / m 2.K. Calcule o tempo necessário para arrefecer a esfera até 100^circ C. Considerar as propriedades termofísicas como:
ll C=900 J / kg K, & rho=2700 kg / m^Im, k & =205 W / m K

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transferência de calor! A gente tem uma esfera de alumínio de 6 kg que está a 350°C e é mergulhada num fluido a 30°C. Queremos descobrir quanto tempo leva para a esfera esfria até 100°C. Para isso, vamos usar conceitos de convecção térmica e capacidade térmica, utilizando as fórmulas apropriadas. Vamos precisar das propriedades termofísicas fornecidas: capacidade térmica específica , densidade e condutividade térmica .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume da esfera usando a densidade ( V = mrho ) e a massa ( V = 62700 = 0,00222 , m³ ). A fórmula é:
Onde:
  • ³
³

Passo 3

Agora, encontramos o raio da esfera a partir do volume. A fórmula do volume de uma esfera é:
V = 43 pi r³ ³
Resolvendo para r = ( 3V4pi )^1/3 :
r = ( 3 times 0,002224pi )^1/3 approx 0,122 , m
Substituindo ³:

Passo 4

Em seguida, calculamos a área de superfície da esfera usando o raio encontrado:
A = 4pi r² ²
A = 4pi (0,122)^2 approx 0,187 , m² ²

Passo 5

Vamos aplicar a Lei de Resfriamento de Newton, que relaciona a taxa de perda de calor com a diferença de temperatura:
dTdt = -hAmc (T - Tamb)
Onde:
  • ²
  • ²

Passo 6

Vamos separar as variáveis para integrar a equação:
integralT0^T dTT - Tamb = -hAmc integral0^t dt
Resolvendo a integral:
ln( T - TambT0 - Tamb ) = -hAmc t

Passo 7

Isolando t = -mchA ln( T - TambT0 - Tamb ) :
t = -6 times 90060 times 0,187 ln( 100 - 30350 - 30 )
Substituindo os valores:
t = -540011,22 ln( 70320 ) approx -481,02 times ln(0,21875)

Passo 8

Calculando o logaritmo:
ln(0,21875) approx -1,524
Então:
t approx -481,02 times (-1,524) approx 731,31 , segundos

Passo 9

Convertendo segundos para minutos:
t approx 731,3160 approx 12,19 , minutos

Resposta

O tempo necessário para a esfera de alumínio arrefecer de até é aproximadamente 12,2 minutos.

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