Uma esfera de alumínio que pesa 6 kg e inicialmente à temperatura de , é subitamente imersa num fluido a com um coeficiente de convecção de .K. Calcule o tempo necessário para arrefecer a esfera até . Considerar as propriedades termofísicas como:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transferência de calor! A gente tem uma esfera de alumínio de 6 kg que está a 350°C e é mergulhada num fluido a 30°C. Queremos descobrir quanto tempo leva para a esfera esfria até 100°C. Para isso, vamos usar conceitos de convecção térmica e capacidade térmica, utilizando as fórmulas apropriadas. Vamos precisar das propriedades termofísicas fornecidas: capacidade térmica específica , densidade e condutividade térmica .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume da esfera usando a densidade ( ) e a massa ( ). A fórmula é:
Onde:
  • ³
³

Passo 3

Agora, encontramos o raio da esfera a partir do volume. A fórmula do volume de uma esfera é:
³
Resolvendo para :
Substituindo ³:

Passo 4

Em seguida, calculamos a área de superfície da esfera usando o raio encontrado:
²
²

Passo 5

Vamos aplicar a Lei de Resfriamento de Newton, que relaciona a taxa de perda de calor com a diferença de temperatura:
Onde:
  • ²
  • ²

Passo 6

Vamos separar as variáveis para integrar a equação:
Resolvendo a integral:

Passo 7

Isolando :
Substituindo os valores:

Passo 8

Calculando o logaritmo:
Então:

Passo 9

Convertendo segundos para minutos:

Resposta

O tempo necessário para a esfera de alumínio arrefecer de até é aproximadamente 12,2 minutos.

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