Um sistema de proteção contra incêndio é suprido por um tubo vertical de 80 pés de altura, a partir de uma torre de água. O tubo mais longo no sistema tem 600 ft e é feito de ferro fundido com cerca de 20 anos de idade. O tubo contém uma válvula gaveta; outras perdas menores podem ser desprezadas. O diâmetro do tubo é de 4 in. Determine a vazão máxima (em gpm) de água através desse tubo.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo e quais são os conceitos que vamos usar para resolver. Temos um sistema de proteção contra incêndio com um tubo vertical de 80 pés e um tubo mais longo de 600 pés feito de ferro fundido. O diâmetro do tubo é de 4 polegadas. Queremos determinar a vazão máxima de água através desse tubo, medida em galões por minuto (gpm). Para isso, vamos utilizar a Equação de Hazen-Williams, que é muito útil para calcular a perda de carga e a vazão em tubos de água.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
  • Altura do tubo vertical (h): 80 pés
  • Comprimento total do tubo (L): 600 pés
  • Diâmetro do tubo (D): 4 polegadas
  • Material do tubo: Ferro fundido com cerca de 20 anos de idade
  • Tipo de válvula: Válvula gaveta
  • Outras perdas de carga: Desprezadas
Precisamos também considerar o coeficiente de Hazen-Williams © para tubos de ferro fundido. Para tubos de ferro fundido mais antigos, geralmente usamos um valor de .

Passo 3

A Equação de Hazen-Williams é dada por:
V = k cdot C cdot R^0.63 cdot S^0.54
Onde:
  • V = 0.442 cdot C cdot D^2.63 cdot S^0.54 é a vazão em galões por minuto (gpm)
  • hf = 4.52 times 10^-3 times L times Q^1.85C^1.85 times D^4.87 é o coeficiente de Hazen-Williams
  • é o raio hidráulico
  • é a declividade ou perda de carga
No entanto, uma forma mais direta da equação para tubos é:
Mas, para facilitar, usaremos a formulação que relaciona a perda de carga com a vazão:
Onde:
  • é a perda de carga (em pés)
  • é a vazão (em gpm)
  • Todos os outros símbolos já foram definidos

Passo 4

Como temos uma perda de carga total de 80 pés (altura do tubo vertical), vamos substituir na equação:
80 = 4.52 times 10^-3 times 600 times Q^1.85100^1.85 times 4^4.87
Vamos simplificar essa equação para encontrar .

Passo 5

Primeiro, calculamos o denominador:
100^1.85 = 100^1 times 100^0.85 = 100 times 70.795 = 7079.5
4^4.87 approx 4^4 times 4^0.87 = 256 times 3.732 = 955.392
Então,
100^1.85 times 4^4.87 approx 7079.5 times 955.392 approx 6.765 times 10^6

Passo 6

Agora, substituímos de volta na equação:
80 = 4.52 times 10^-3 times 600 times Q^1.856.765 times 10^6
Simplificamos:
80 = 4.52 times 10^-3 times 6006.765 times 10^6 times Q^1.85
80 = 2.7126.765 times 10^6 times Q^1.85
80 = 4.007 times 10^-7 times Q^1.85

Passo 7

Isolamos Q^1.85 = 804.007 times 10^-7 approx 1.995 times 10^8 :
Q = (1.995 times 10^8)^11.85 approx 130 gpm
Agora, para encontrar , tiramos a raiz de ordem 1.85:

Resposta

A vazão máxima de água através do tubo é aproximadamente 130 galões por minuto (gpm).

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