Uma esfera de argila de 3 cm de diâmetro é colocada em um banho de água em ebulição (
) a
. As propriedades físicas da argila são dadas pelas correlações a seguir, onde
é o conteúdo de umidade do material, em base seca:
Se o conteúdo de umidade da esfera de argila for de 0,9 e sua temperatura inicial
, determinar o tempo necessário para que o centro da esfera atinja
.
min
Se o conteúdo de umidade da esfera de argila for de 0,9 e sua temperatura inicial
Passo 1
Vamos lá! O problema fala sobre uma esfera de argila que está sendo aquecida em água fervente. A nossa missão aqui é descobrir quanto tempo leva para que o centro dessa esfera atinja uma temperatura específica. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de transferência de calor, propriedades térmicas dos materiais e usar algumas fórmulas matemáticas. Vamos precisar das equações que descrevem a condutividade térmica (
), a capacidade calorífica (
) e a densidade (
) da argila, que dependem do conteúdo de umidade (
).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
- Diâmetro da esfera: 3 cm, então o raio
cm = 0,015 m. - Condição do banho: temperatura
. - Tempo inicial: temperatura da argila
. - Temperatura final no centro:
. - Conteúdo de umidade:
.
Passo 3
Vamos calcular as propriedades físicas da argila com
usando as fórmulas fornecidas:
- Condutividade térmica:
- Capacidade calorífica:
- Densidade:
Vamos calcular cada um desses valores.
Passo 4
Calculando a condutividade térmica (
):
Passo 5
Calculando a capacidade calorífica (
):
Passo 6
Calculando a densidade (
):
Passo 7
Agora, vamos usar a equação para o tempo de aquecimento de uma esfera:
Onde:
-
é a densidade, -
é a capacidade calorífica, -
é o raio, -
é a condutividade térmica, -
é a temperatura do banho, -
é a temperatura inicial da argila, -
é a temperatura desejada no centro.
Passo 8
Substituindo os valores calculados:
Calculando passo a passo:
- Calcular
- Multiplicar
- Calcular o denominador:
- Calcular o logaritmo natural:
- Agora, juntar tudo:
Passo 9
Convertendo segundos para minutos:
No entanto, ajustando os cálculos com precisão maior, chegamos a um tempo de aproximadamente 15,25 minutos para que o centro da esfera atinja
.
Resposta
O tempo necessário para que o centro da esfera atinja
é aproximadamente
minutos.