Uma esfera de cobre ( k=386 W / m K ) de 5 cm de diâmetro, inicialmente à temperatura uniforme de 250^circ C, é subitamente exposta a um ambiente a 30^circ C, com coeficiente de convecção h=28 W /(m^2 K). Calcule o tempo necessário para que o centro da esfera atinja a temperatura de 90^circ C.

Passo 1

Entendendo o problema e os conceitos envolvidos
Primeiro, vamos resumir o que foi pedido no exercício. Temos uma esfera de cobre com diâmetro de 5 cm, inicialmente à temperatura de . Essa esfera é exposta de repente a um ambiente com temperatura de e um coeficiente de convecção . Queremos descobrir quanto tempo leva para que o centro da esfera atinja a temperatura de .
Conteúdo da matéria:
  • Condução de calor em meios sólidos: Estudamos como o calor se propaga dentro de um objeto sólido.
  • Trocas térmicas por convecção: Analisamos como o calor é transferido entre a superfície do sólido e o ambiente.
  • Método da capacidade térmica armazenada (Método de Resfriamento por Capacidade Calorífica): Simplifica o problema assumindo que a temperatura dentro do objeto é uniforme.
O que vamos precisar:
  • Fórmulas de condução de calor para esferas.
  • Conhecimentos sobre propriedades térmicas do cobre (densidade e capacidade calorífica específica).
  • Cálculo do número de Biot para verificar a aplicabilidade do método simplificado.

Passo 2

Calculando a densidade ( ) e a capacidade calorífica específica ( ) do cobre
Para continuar, precisamos saber algumas propriedades físicas do cobre:
  • Densidade ( ): Aproximadamente .
  • Capacidade calorífica específica ( ): Aproximadamente .
Esses valores são essenciais para calcular a difusividade térmica e aplicar as fórmulas de transferência de calor.

Passo 3

Calculando a difusividade térmica ( alpha = krho cdot cp ) do cobre
A difusividade térmica é dada por:
alpha = 386 , W/(m cdot K)8960 , kg/m^3 cdot 385 , J/(kg cdot K) approx 0,000115 , m^2/s
Substituindo os valores:

Passo 4

Calculando o número de Biot ( Lc = VA = 43pi r^34pi r^2 = r3 )
O número de Biot nos ajuda a determinar se a temperatura dentro do objeto pode ser considerada uniforme (Método de Capacidade Calorífica) ou se precisamos considerar variações de temperatura.
Para uma esfera, o comprimento característico ( r = 5 , cm2 = 0,025 , m Lc = 0,0253 approx 0,00833 , m ) é:
Bi = h cdot Lck = 28 , W/(m^2 K) cdot 0,00833 , m386 , W/(m cdot K) approx 0,0006
Onde é o raio da esfera.
Calculando :
Agora, o número de Biot:
Como , podemos usar o Método de Capacidade Calorífica para simplificar nosso cálculo.

Passo 5

Aplicando o Método de Capacidade Calorífica
Esse método assume que a temperatura dentro da esfera é uniforme em todo o seu volume e que a variação de temperatura ao longo do tempo é descrita pela equação:
T(t) - TinftyT0 - Tinfty = exp(-h cdot A cdot trho cdot cp cdot V)
Onde:
  • A = 4pi r^2 = 4pi (0,025)^2 approx 0,00785 , m^2 V = 43pi r^3 = 43pi (0,025)^3 approx 6,54 times 10^-5 , m^3 é a temperatura no tempo .
  • é a temperatura ambiente.
  • é a temperatura inicial.
  • é a área da superfície da esfera.
  • é o volume da esfera.
Calculando e :

Passo 6

Rearranjando a equação para encontrar o tempo T(t) - TinftyT0 - Tinfty = exp(-h cdot A cdot trho cdot cp cdot V)
Queremos encontrar o tempo necessário para que ln(T(t) - TinftyT0 - Tinfty) = -h cdot A cdot trho cdot cp cdot V .
Primeiro, reorganizamos a equação:
t = -rho cdot cp cdot Vh cdot A cdot ln(T(t) - TinftyT0 - Tinfty)
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Resolvendo para :

Passo 7

Substituindo os valores na equação
Vamos substituir todos os valores conhecidos na equação para encontrar rho = 8960 , kg/m^3 cp = 385 , J/(kg cdot K) V = 6,54 times 10^-5 , m^3 h = 28 , W/(m^2 K) A = 0,00785 , m^2 T(t) = 90^circ C Tinfty = 30^circ C T0 = 250^circ C :
t = -8960 cdot 385 cdot 6,54 times 10^-528 cdot 0,00785 cdot ln(90 - 30250 - 30)
Substituindo na fórmula:
8960 cdot 385 cdot 6,54 times 10^-5 approx 8960 cdot 385 cdot 0,0000654 approx 8960 cdot 0,025239 approx 226.0 , J/K
Calculando passo a passo:
  1. Calculando o numerador:
28 cdot 0,00785 approx 0,2198 , W/K
  1. Calculando o denominador:
ln(60220) = ln(0,2727) approx -1,2993
  1. Calculando o logaritmo:
t = -226.00,2198 cdot (-1,2993) approx -1027.7 cdot (-1,2993) approx 1332.6 , s
  1. Substituindo de volta na equação:

Passo 8

Convertendo o tempo para minutos
1332.6 , s div 60 approx 22,21 , min

Resposta

O tempo necessário para que o centro da esfera de cobre atinja a temperatura de é aproximadamente 22,2 minutos.

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