Uma esfera de cobre (
) de 5 cm de diâmetro, inicialmente à temperatura uniforme de
, é subitamente exposta a um ambiente a
, com coeficiente de convecção
. Calcule o tempo necessário para que o centro da esfera atinja a temperatura de
.
Passo 1
Entendendo o problema e os conceitos envolvidos
Primeiro, vamos resumir o que foi pedido no exercício. Temos uma esfera de cobre com diâmetro de 5 cm, inicialmente à temperatura de
. Essa esfera é exposta de repente a um ambiente com temperatura de
e um coeficiente de convecção
. Queremos descobrir quanto tempo leva para que o centro da esfera atinja a temperatura de
.
Conteúdo da matéria:
- Condução de calor em meios sólidos: Estudamos como o calor se propaga dentro de um objeto sólido.
- Trocas térmicas por convecção: Analisamos como o calor é transferido entre a superfície do sólido e o ambiente.
- Método da capacidade térmica armazenada (Método de Resfriamento por Capacidade Calorífica): Simplifica o problema assumindo que a temperatura dentro do objeto é uniforme.
O que vamos precisar:
- Fórmulas de condução de calor para esferas.
- Conhecimentos sobre propriedades térmicas do cobre (densidade e capacidade calorífica específica).
- Cálculo do número de Biot para verificar a aplicabilidade do método simplificado.
Passo 2
Calculando a densidade (
) e a capacidade calorífica específica (
) do cobre
Para continuar, precisamos saber algumas propriedades físicas do cobre:
- Densidade (
): Aproximadamente . - Capacidade calorífica específica (
): Aproximadamente .
Esses valores são essenciais para calcular a difusividade térmica e aplicar as fórmulas de transferência de calor.
Passo 3
Calculando a difusividade térmica (
) do cobre
A difusividade térmica é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Calculando o número de Biot (
)
O número de Biot nos ajuda a determinar se a temperatura dentro do objeto pode ser considerada uniforme (Método de Capacidade Calorífica) ou se precisamos considerar variações de temperatura.
Para uma esfera, o comprimento característico (
) é:
Onde
é o raio da esfera.
Calculando
:
Agora, o número de Biot:
Como
, podemos usar o Método de Capacidade Calorífica para simplificar nosso cálculo.
Passo 5
Aplicando o Método de Capacidade Calorífica
Esse método assume que a temperatura dentro da esfera é uniforme em todo o seu volume e que a variação de temperatura ao longo do tempo é descrita pela equação:
Onde:
-
é a temperatura no tempo . -
é a temperatura ambiente. -
é a temperatura inicial. -
é a área da superfície da esfera. -
é o volume da esfera.
Calculando
e
:
Passo 6
Rearranjando a equação para encontrar o tempo
Queremos encontrar o tempo necessário para que
.
Primeiro, reorganizamos a equação:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Resolvendo para
:
Passo 7
Substituindo os valores na equação
Vamos substituir todos os valores conhecidos na equação para encontrar
:
Substituindo na fórmula:
Calculando passo a passo:
- Calculando o numerador:
- Calculando o denominador:
- Calculando o logaritmo:
- Substituindo de volta na equação:
Passo 8
Convertendo o tempo para minutos
Resposta
O tempo necessário para que o centro da esfera de cobre atinja a temperatura de
é aproximadamente 22,2 minutos.
Exercícios relacionados
Uma longa barra, com 70 mm de diâmetro e inicialmente a
, é resfriada por imersão em um banho de água a
, que proporciona um coeficiente convectivo de
. As propriedades termofísicas da barra são:
e
. Quanto tempo deve a barra permanecer no banho para que ela atinja a temperatura de
no seu centro térmico?
Calcule o valor do coeficiente de difusão do vapor d’água em ar seco e estagnado a
e 1 atm, considerando o ar como uma mistura gasosa contendo:
de
,
de
.
Estime o tempo necessário para cozinhar uma salsicha de cachorro-quente em água fervente. Considere que a salsicha esteja inicialmente a
, que o coeficiente de transferência de calor por convecção seja de
e que a temperatura final no seu eixo central seja de
. Trate a salsicha como se fosse um longo cilindro de 20 mm de diâmetro, possuindo as seguintes propriedades:
e
). (R: 7,6 min.)
Para os campos de velocidade dados abaixo: O escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê? (a e b são constantes.)