Uma longa barra, com 70 mm de diâmetro e inicialmente a 90^circ C, é resfriada por imersão em um banho de água a 40^circ C, que proporciona um coeficiente convectivo de 20 W /(m^2 K). As propriedades termofísicas da barra são: rho=2600 kg / m^3, c=1030 J /(kg K) e k=35 W /(m K). Quanto tempo deve a barra permanecer no banho para que ela atinja a temperatura de 55^circ C no seu centro térmico?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma barra longa com diâmetro de 70 mm e uma temperatura inicial de . Ela está sendo resfriada por imersão em água a , com um coeficiente de transferência de calor por convecção de . As propriedades da barra são dadas pela densidade , calor específico e condutividade térmica . Queremos descobrir quanto tempo a barra precisa ficar no banho para que sua temperatura no centro atinja .
Vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente o modelo de Capacitância Agregada (ou método de resfriamento lumped). Para isso, precisamos verificar se esse modelo é aplicável ao nosso caso.

Passo 2

Para decidir se podemos usar o modelo de capacitância agregada, calculamos o Número de Biot ( Bi = h Lck ). Ele nos ajuda a determinar se a temperatura dentro da barra é praticamente uniforme durante o resfriamento.
A fórmula para o Número de Biot é:
Lc = VA
Onde:
  • Lc = r2 é o coeficiente de convecção.
  • Lc = 0,0352 = 0,0175 , m é o comprimento característico da barra.
  • Bi = 20 times 0,017535 = 0,01 é a condutividade térmica.
Para uma barra cilíndrica, o comprimento característico é dado por:
Onde:
  • é o volume.
  • é a área de superfície.
Como a barra é longa, podemos simplificar e considerar:
Com o diâmetro de 70 mm, o raio , então:
Agora calculamos :
Como , podemos usar o modelo de capacitância agregada, que assume que a temperatura é uniforme na barra durante o resfriamento.

Passo 3

Usando o modelo de capacitância agregada, a variação da temperatura ao longo do tempo é dada pela equação:
T(t) - TinftyTi - Tinfty = exp(-h A tm c)
Onde:
  • t = -m ch A ln(T(t) - TinftyTi - Tinfty) é a temperatura desejada no centro.
  • é a temperatura da água.
  • é a temperatura inicial da barra.
  • é a área de superfície da barra.
  • é a massa da barra.
  • é o calor específico.
Vamos reorganizar a equação para resolver para :

Passo 4

Primeiro, calculamos a massa V = pi r^2 L da barra. Supondo que a barra tenha comprimento m = rho V = rho pi r^2 L , o volume A = 2 pi r L é:
t = -rho pi r^2 L ch times 2 pi r L ln(55 - 4090 - 40)
A massa t = -rho r c2 h ln(1550) é:
Agora, a área de superfície (para uma barra longa) é:
Observamos que o comprimento cancela nas equações, então não precisamos conhecê-lo.
Substituindo e na equação do tempo:
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos:
  • t = -2600 times 0,035 times 10302 times 20 times (-1,204)
  • t = 2600 times 0,035 times 103040 times 1,204
  • t = 93,1 times 103040 times 1,204
  • t = 95.93340 times 1,204
  • t approx 2398,33 times 1,204
Substituindo na equação:
t approx 2885,6 , s
Calculando:
t approx 2885,660 approx 48,1 , minutos
Convertendo para minutos:

Resposta

A barra deve permanecer no banho por aproximadamente 48 minutos para que atinja a temperatura de no seu centro térmico.

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