Uma longa barra, com 70 mm de diâmetro e inicialmente a
, é resfriada por imersão em um banho de água a
, que proporciona um coeficiente convectivo de
. As propriedades termofísicas da barra são:
e
. Quanto tempo deve a barra permanecer no banho para que ela atinja a temperatura de
no seu centro térmico?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma barra longa com diâmetro de 70 mm e uma temperatura inicial de
. Ela está sendo resfriada por imersão em água a
, com um coeficiente de transferência de calor por convecção de
. As propriedades da barra são dadas pela densidade
, calor específico
e condutividade térmica
. Queremos descobrir quanto tempo a barra precisa ficar no banho para que sua temperatura no centro atinja
.
Vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente o modelo de Capacitância Agregada (ou método de resfriamento lumped). Para isso, precisamos verificar se esse modelo é aplicável ao nosso caso.
Passo 2
Para decidir se podemos usar o modelo de capacitância agregada, calculamos o Número de Biot (
). Ele nos ajuda a determinar se a temperatura dentro da barra é praticamente uniforme durante o resfriamento.
A fórmula para o Número de Biot é:
Onde:
-
é o coeficiente de convecção. -
é o comprimento característico da barra. -
é a condutividade térmica.
Para uma barra cilíndrica, o comprimento característico
é dado por:
Onde:
-
é o volume. -
é a área de superfície.
Como a barra é longa, podemos simplificar e considerar:
Com o diâmetro de 70 mm, o raio
, então:
Agora calculamos
:
Como
, podemos usar o modelo de capacitância agregada, que assume que a temperatura é uniforme na barra durante o resfriamento.
Passo 3
Usando o modelo de capacitância agregada, a variação da temperatura ao longo do tempo é dada pela equação:
Onde:
-
é a temperatura desejada no centro. -
é a temperatura da água. -
é a temperatura inicial da barra. -
é a área de superfície da barra. -
é a massa da barra. -
é o calor específico.
Vamos reorganizar a equação para resolver para
:
Passo 4
Primeiro, calculamos a massa
da barra. Supondo que a barra tenha comprimento
, o volume
é:
A massa
é:
Agora, a área de superfície
(para uma barra longa) é:
Observamos que o comprimento
cancela nas equações, então não precisamos conhecê-lo.
Substituindo
e
na equação do tempo:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Substituindo na equação:
Calculando:
Convertendo para minutos:
Resposta
A barra deve permanecer no banho por aproximadamente 48 minutos para que atinja a temperatura de
no seu centro térmico.
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,
de
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e
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