Uma esfera condutora maciça, sem buracos, possui raio R e carga total q. Determine o potencial em todos os pontos do exterior e do interior da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera condutora maciça, sem buracos, com raio e carga total . O que a gente precisa descobrir é o potencial elétrico em todos os pontos tanto dentro quanto fora dessa esfera. Para isso, vamos usar conceitos da eletrostática, como a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um condutor em equilíbrio eletrostático, a carga se distribui na superfície. Então, toda a carga está na superfície da esfera. Isso significa que dentro da esfera (para ), o campo elétrico é zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular o potencial elétrico fora da esfera (para V(r) = 14piepsilon0 cdot qr ). O potencial devido a uma esfera carregada é o mesmo que o de um ponto com a mesma carga no centro. Usamos a fórmula:
onde:
  • é o potencial no ponto a uma distância do centro,
  • é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Para o interior da esfera (para V(r) = 14piepsilon0 cdot qR ), como o campo elétrico é zero, o potencial é constante e igual ao potencial na superfície. Então, o potencial interno é:

Passo 5

Resumindo:
  • Fora da esfera ( ): O potencial varia com .
  • Dentro da esfera ( ): O potencial é constante e igual ao potencial na superfície.

Resposta

O potencial elétrico V(r) = 14piepsilon0 cdot qr & para r >= R 14piepsilon0 cdot qR & para r < R é dado por:

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