Duas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. A casca esférica interna possui carga total
e raio externo
, e a casca esférica externa possui carga
e raio interno
. Calcule a capacitância desse capacitor esférico.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema! Temos duas cascas esféricas condutoras concêntricas separadas por vácuo. A casca interna tem carga total
e raio externo
, enquanto a casca externa tem carga
e raio interno
. Nosso objetivo aqui é calcular a capacitância desse capacitor esférico. A matéria envolvida é eletrostática, especificamente capacitância em configurações esféricas. Vamos precisar entender como a carga e o potencial funcionam em esferas concêntricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. A capacitância
é uma medida de quanto carga um capacitor pode armazenar por unidade de potencial elétrico entre suas placas. A fórmula básica é:
onde
é a carga e
é a diferença de potencial entre as duas cascas.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a diferença de potencial
entre as duas cascas esféricas. Para isso, vamos calcular o potencial devido à casca interna no ponto da casca externa e vice-versa.
Lembrando que o potencial elétrico
devido a uma carga
a uma distância
de uma esfera condutora é dado por:
onde
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Primeiro, calculamos o potencial no raio
devido à carga
na casca interna:
A casca externa tem carga
, mas como ela está na posição
, o potencial devido a ela no próprio raio
é:
Passo 5
A diferença de potencial
entre as duas cascas é a soma dos potenciais:
Passo 6
Agora que temos
, podemos calcular a capacitância usando a fórmula
:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Portanto, a capacitância fica:
Resposta
A capacitância do capacitor esférico é:
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e
.
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.