Duas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. A casca esférica interna possui carga total e raio externo , e a casca esférica externa possui carga e raio interno . Calcule a capacitância desse capacitor esférico.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema! Temos duas cascas esféricas condutoras concêntricas separadas por vácuo. A casca interna tem carga total e raio externo , enquanto a casca externa tem carga e raio interno . Nosso objetivo aqui é calcular a capacitância desse capacitor esférico. A matéria envolvida é eletrostática, especificamente capacitância em configurações esféricas. Vamos precisar entender como a carga e o potencial funcionam em esferas concêntricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. A capacitância é uma medida de quanto carga um capacitor pode armazenar por unidade de potencial elétrico entre suas placas. A fórmula básica é:
onde é a carga e é a diferença de potencial entre as duas cascas.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferença de potencial entre as duas cascas esféricas. Para isso, vamos calcular o potencial devido à casca interna no ponto da casca externa e vice-versa.
Lembrando que o potencial elétrico devido a uma carga a uma distância de uma esfera condutora é dado por:
onde é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Primeiro, calculamos o potencial no raio devido à carga na casca interna:
A casca externa tem carga , mas como ela está na posição , o potencial devido a ela no próprio raio é:

Passo 5

A diferença de potencial entre as duas cascas é a soma dos potenciais:

Passo 6

Agora que temos , podemos calcular a capacitância usando a fórmula :

Passo 7

Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
Portanto, a capacitância fica:

Resposta

A capacitância do capacitor esférico é:

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