Duas cascas esféricas condutoras concêntricas estão separadas pelo vácuo. A casca esférica interna possui carga total +Q e raio externo ra, e a casca esférica externa possui carga -Q e raio interno rb. Calcule a capacitância desse capacitor esférico.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema! Temos duas cascas esféricas condutoras concêntricas separadas por vácuo. A casca interna tem carga total e raio externo , enquanto a casca externa tem carga e raio interno . Nosso objetivo aqui é calcular a capacitância desse capacitor esférico. A matéria envolvida é eletrostática, especificamente capacitância em configurações esféricas. Vamos precisar entender como a carga e o potencial funcionam em esferas concêntricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é capacitância. A capacitância C = QDe é uma medida de quanto carga um capacitor pode armazenar por unidade de potencial elétrico entre suas placas. A fórmula básica é:
onde é a carga e é a diferença de potencial entre as duas cascas.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferença de potencial V = 14piepsilon0 cdot Qr entre as duas cascas esféricas. Para isso, vamos calcular o potencial devido à casca interna no ponto da casca externa e vice-versa.
Lembrando que o potencial elétrico devido a uma carga a uma distância de uma esfera condutora é dado por:
onde é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Primeiro, calculamos o potencial no raio Vinterna = 14piepsilon0 cdot Qra devido à carga Vexterna = 14piepsilon0 cdot -Qrb na casca interna:
A casca externa tem carga , mas como ela está na posição , o potencial devido a ela no próprio raio é:

Passo 5

A diferença de potencial De entre as duas cascas é a soma dos potenciais:

Passo 6

Agora que temos C = QQ4piepsilon0 ( 1ra + 1rb ) = 4piepsilon0 ( 1 1ra + 1rb ) , podemos calcular a capacitância usando a fórmula :

Passo 7

Simplificando a expressão dentro dos parênteses:
1 1ra + 1rb = ra rbra + rb
Portanto, a capacitância fica:
C = 4piepsilon0 cdot ra rbra + rb

Resposta

A capacitância do capacitor esférico é:
C = 4piepsilon0 cdot ra rbra + rb

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