Considere uma curva elevada (curva que tem uma inclinação em relação à horizontal) na qual há um coeficiente de atrito estático mus e um coeficiente de atrito cinético muc entre os pneus do carro e a estrada. O raio da curva é R e sua inclinação lateral é alpha. Calcule as velocidades máxima e mínima que um carro pode ter para que ele consiga fazer esta curva. Resp: vmin=raizg R(tan alpha-mus) /(1+mus tan alpha) e vmáx=raizg R(tan alpha+mus) /(1-mus tan alpha)á.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva inclinada, ou seja, uma estrada que não é plana, com um ângulo de inclinação lateral alpha. Nessa curva, há atrito entre os pneus do carro e a estrada, com coeficientes de atrito estático mus e cinético muc. O raio da curva é R. Nosso objetivo é calcular as velocidades máxima e mínima que o carro pode ter para conseguir fazer essa curva sem derrapar.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que faz o carro conseguir fazer a curva sem derrapar. Existem duas forças principais agindo sobre o carro: a força centrípeta, que puxa o carro para o centro da curva, e as forças de atrito, que ajudam ou impedem o carro de deslizar.

Passo 3

A força centrípeta necessária para o carro fazer a curva é dada por:
Fcentrípeta = m v^2R í
onde m é a massa do carro, v é a velocidade e R é o raio da curva.

Passo 4

Como a estrada está inclinada, temos que decompor as forças nas direções perpendicular e paralela à estrada. A inclinação alpha ajuda a fornecer uma componente da força normal que contribui para a força centrípeta.

Passo 5

A força normal N é a força que a estrada exerce sobre o carro, perpendicular à superfície inclinada. Devido à inclinação, a força normal é menor do que o peso do carro, sendo calculada por:
N = m g cos alpha
onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 6

A componente da força que ajuda na força centrípeta devido à inclinação é:
Finclinação = m g sin alpha çã
Essa força atua horizontalmente em direção ao centro da curva.

Passo 7

O atrito estático também contribui para a força centrípeta. A força de atrito máxima que pode ser fornecida é:
Fatrito = mus N = mus m g cos alpha

Passo 8

Para encontrar a velocidade mínima e máxima, consideramos os limites onde o atrito já está no máximo permitido para manter o carro na curva sem derrapar. A velocidade mínima ocorre quando o atrito age contra a inclinação, e a máxima quando o atrito age a favor da inclinação.

Passo 9

Montando a equação para a força centrípeta, temos:
Fcentrípeta = Finclinação pm Fatrito íçã
Substituindo os valores:
m v^2R = m g sin alpha pm mus m g cos alpha

Passo 10

Simplificando a equação (cancelando m dos dois lados):
v^2R = g sin alpha pm mus g cos alpha

Passo 11

Resolvendo para v, multiplicamos ambos os lados por R e depois tiramos a raiz quadrada:
v = raizR g (sin alpha pm mus cos alpha)

Passo 12

Utilizando a identidade trigonométrica tan alpha = sin alphacos alpha, podemos reescrever a equação:
v = raizR g (tan alpha pm mus)

Passo 13

Agora, para expressar as velocidades mínima e máxima separadamente:
  • Velocidade mínima ( vmin) quando o atrito age contra a inclinação:
vmin = raizg R (tan alpha - mus)1 + mus tan alpha
  • Velocidade máxima ( vmáxá) quando o atrito age a favor da inclinação:
vmáx = raizg R (tan alpha + mus)1 - mus tan alpha á

Resposta

As velocidades mínima e máxima são dadas por:
vmin = raizg R (tan alpha - mus)1 + mus tan alpha
e
vmáx = raizg R (tan alpha + mus)1 - mus tan alpha á

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