Considere uma curva elevada (curva que tem uma inclinação em relação à horizontal) na qual há um coeficiente de atrito estático
e um coeficiente de atrito cinético
entre os pneus do carro e a estrada. O raio da curva é
e sua inclinação lateral é
. Calcule as velocidades máxima e mínima que um carro pode ter para que ele consiga fazer esta curva. Resp:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva inclinada, ou seja, uma estrada que não é plana, com um ângulo de inclinação lateral
. Nessa curva, há atrito entre os pneus do carro e a estrada, com coeficientes de atrito estático
e cinético
. O raio da curva é
. Nosso objetivo é calcular as velocidades máxima e mínima que o carro pode ter para conseguir fazer essa curva sem derrapar.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que faz o carro conseguir fazer a curva sem derrapar. Existem duas forças principais agindo sobre o carro: a força centrípeta, que puxa o carro para o centro da curva, e as forças de atrito, que ajudam ou impedem o carro de deslizar.
Passo 3
A força centrípeta necessária para o carro fazer a curva é dada por:
onde
é a massa do carro,
é a velocidade e
é o raio da curva.
Passo 4
Como a estrada está inclinada, temos que decompor as forças nas direções perpendicular e paralela à estrada. A inclinação
ajuda a fornecer uma componente da força normal que contribui para a força centrípeta.
Passo 5
A força normal
é a força que a estrada exerce sobre o carro, perpendicular à superfície inclinada. Devido à inclinação, a força normal é menor do que o peso do carro, sendo calculada por:
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 6
A componente da força que ajuda na força centrípeta devido à inclinação é:
Essa força atua horizontalmente em direção ao centro da curva.
Passo 7
O atrito estático também contribui para a força centrípeta. A força de atrito máxima que pode ser fornecida é:
Passo 8
Para encontrar a velocidade mínima e máxima, consideramos os limites onde o atrito já está no máximo permitido para manter o carro na curva sem derrapar. A velocidade mínima ocorre quando o atrito age contra a inclinação, e a máxima quando o atrito age a favor da inclinação.
Passo 9
Montando a equação para a força centrípeta, temos:
Substituindo os valores:
Passo 10
Simplificando a equação (cancelando
dos dois lados):
Passo 11
Resolvendo para
, multiplicamos ambos os lados por
e depois tiramos a raiz quadrada:
Passo 12
Utilizando a identidade trigonométrica
, podemos reescrever a equação:
Passo 13
Agora, para expressar as velocidades mínima e máxima separadamente:
- Velocidade mínima (
) quando o atrito age contra a inclinação:
- Velocidade máxima (
) quando o atrito age a favor da inclinação:
Resposta
As velocidades mínima e máxima são dadas por:
e
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