Considere uma curva elevada (curva que tem uma inclinação em relação à horizontal) na qual há um coeficiente de atrito estático e um coeficiente de atrito cinético entre os pneus do carro e a estrada. O raio da curva é e sua inclinação lateral é . Calcule as velocidades máxima e mínima que um carro pode ter para que ele consiga fazer esta curva. Resp: e á.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva inclinada, ou seja, uma estrada que não é plana, com um ângulo de inclinação lateral . Nessa curva, há atrito entre os pneus do carro e a estrada, com coeficientes de atrito estático e cinético . O raio da curva é . Nosso objetivo é calcular as velocidades máxima e mínima que o carro pode ter para conseguir fazer essa curva sem derrapar.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que faz o carro conseguir fazer a curva sem derrapar. Existem duas forças principais agindo sobre o carro: a força centrípeta, que puxa o carro para o centro da curva, e as forças de atrito, que ajudam ou impedem o carro de deslizar.

Passo 3

A força centrípeta necessária para o carro fazer a curva é dada por:
í
onde é a massa do carro, é a velocidade e é o raio da curva.

Passo 4

Como a estrada está inclinada, temos que decompor as forças nas direções perpendicular e paralela à estrada. A inclinação ajuda a fornecer uma componente da força normal que contribui para a força centrípeta.

Passo 5

A força normal é a força que a estrada exerce sobre o carro, perpendicular à superfície inclinada. Devido à inclinação, a força normal é menor do que o peso do carro, sendo calculada por:
onde é a aceleração da gravidade.

Passo 6

A componente da força que ajuda na força centrípeta devido à inclinação é:
çã
Essa força atua horizontalmente em direção ao centro da curva.

Passo 7

O atrito estático também contribui para a força centrípeta. A força de atrito máxima que pode ser fornecida é:

Passo 8

Para encontrar a velocidade mínima e máxima, consideramos os limites onde o atrito já está no máximo permitido para manter o carro na curva sem derrapar. A velocidade mínima ocorre quando o atrito age contra a inclinação, e a máxima quando o atrito age a favor da inclinação.

Passo 9

Montando a equação para a força centrípeta, temos:
íçã
Substituindo os valores:

Passo 10

Simplificando a equação (cancelando dos dois lados):

Passo 11

Resolvendo para , multiplicamos ambos os lados por e depois tiramos a raiz quadrada:

Passo 12

Utilizando a identidade trigonométrica , podemos reescrever a equação:

Passo 13

Agora, para expressar as velocidades mínima e máxima separadamente:
  • Velocidade mínima ( ) quando o atrito age contra a inclinação:
  • Velocidade máxima ( á) quando o atrito age a favor da inclinação:
á

Resposta

As velocidades mínima e máxima são dadas por:
e
á

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