Uma esfera condutora de raio
, com potencial
onde
é uma constante e theta é coordenada esférica usual.
(a) (Valor: 0,5 pt.) Encontre o potencial em cada região: (i)
e (ii)
.
(b) (Valor:
.) Encontre a densidade superficial de carga induzida
no condutor.
© (Valor: 0,5 pt.) Qual é a carga total desse sistema? Verifique se a sua resposta é coerente com o comportamento de
para
grande.
(a) (Valor: 0,5 pt.) Encontre o potencial em cada região: (i)
(b) (Valor:
© (Valor: 0,5 pt.) Qual é a carga total desse sistema? Verifique se a sua resposta é coerente com o comportamento de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera condutora com raio
e um potencial superficial dado por
. Nosso objetivo é encontrar o potencial em duas regiões diferentes, a densidade de carga induzida no condutor e a carga total do sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como o potencial elétrico devido a distribuições de carga e as condições em condutores em equilíbrio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como encontrar o potencial em duas regiões: fora da esfera (
) e entre
. Sabemos que para uma distribuição de carga esférica que depende de
, podemos expandir o potencial em termos de harmônicos esféricos. Como a distribuição é
, que corresponde ao modo
, vamos usar essa informação para simplificar nossos cálculos.
Passo 3
Para
, o potencial devido a uma distribuição dipolar como
decai como
. Portanto, podemos escrever o potencial nessa região como:
Aqui,
é um potencial de referência e
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Para a região entre
, o potencial também terá a contribuição do termo dipolar, mas agora a dependência radial será diferente. O potencial nessa região é dado por:
Isso leva em conta a distribuição da carga induzida no condutor entre os raios
e
.
Resposta
O potencial nas duas regiões é dado por: