Uma esfera condutora de raio a, com potencial
sigma(theta)=k cos (theta)
onde k é uma constante e theta é coordenada esférica usual.
(a) (Valor: 0,5 pt.) Encontre o potencial em cada região: (i) r>b e (ii) a.
(b) (Valor: 0 , 5 pt.) Encontre a densidade superficial de carga induzida sigmai(theta) no condutor.
© (Valor: 0,5 pt.) Qual é a carga total desse sistema? Verifique se a sua resposta é coerente com o comportamento de V para r grande.
[ Resposta: V(r ; theta)=ll a V0 / r+(b^3-a^3) k cos (theta) / 3 r^2 epsilon0, & r >= b a V0 / r+(r^3-a^3) k cos (theta) / 3 r^2 epsilon0, & r <= b ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera condutora com raio e um potencial superficial dado por . Nosso objetivo é encontrar o potencial em duas regiões diferentes, a densidade de carga induzida no condutor e a carga total do sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, como o potencial elétrico devido a distribuições de carga e as condições em condutores em equilíbrio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como encontrar o potencial em duas regiões: fora da esfera ( ) e entre . Sabemos que para uma distribuição de carga esférica que depende de , podemos expandir o potencial em termos de harmônicos esféricos. Como a distribuição é , que corresponde ao modo , vamos usar essa informação para simplificar nossos cálculos.

Passo 3

Para V(r; theta) = a V0r + (b^3 - a^3) k cos(theta)3 epsilon0 r^2 , o potencial devido a uma distribuição dipolar como decai como . Portanto, podemos escrever o potencial nessa região como:
Aqui, é um potencial de referência e é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Para a região entre V(r; theta) = a V0r + (r^3 - a^3) k cos(theta)3 epsilon0 r^2 , o potencial também terá a contribuição do termo dipolar, mas agora a dependência radial será diferente. O potencial nessa região é dado por:
Isso leva em conta a distribuição da carga induzida no condutor entre os raios e .

Resposta

O potencial nas duas regiões é dado por:
V(r; theta) = a V0r + (b^3 - a^3) k cos(theta)3 epsilon0 r^2, & r >= b a V0r + (r^3 - a^3) k cos(theta)3 epsilon0 r^2, & a < r < b

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