Os polinômios de Legendre podem ser obtidos por meio de funções geradoras, tal como é o caso da chamada fórmula de Rodrigues,
Demonstre que é possível obter uma função geradora dos polinômios de Legendre, partindo da expansão (em série de Taylor) de
no cálculo do potencial elétrico de um dipólo, em um ponto
do espaço.
Nota: faça
.
Nota: faça
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos os polinômios de Legendre, que são importantes em várias áreas da física e matemática, e queremos encontrar uma função geradora para eles. Para isso, vamos usar a expansão em série de Taylor de
, que aparece no cálculo do potencial elétrico de um dipolo em um ponto
no espaço. Vamos precisar conhecer a fórmula de Rodrigues dos polinômios de Legendre e entender como aplicar séries de Taylor.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a fórmula de Rodrigues nos dá os polinômios de Legendre:
Aqui,
é o grau do polinômio e
está relacionado ao ângulo
. Essa fórmula nos mostra como derivar os polinômios de Legendre a partir de uma função geradora específica.
Passo 3
Agora, vamos considerar o potencial elétrico de um dipolo. O potencial
em um ponto
devido a um dipolo é dado por:
onde
é o momento dipolar e
. Quando
, podemos expandir
em série de Taylor, onde
é a distância entre os pontos.
Passo 4
A expansão em série de Taylor de
para
é:
Aqui,
são os polinômios de Legendre e
é o ângulo entre
e
. Essa série de Taylor é a nossa função geradora para os polinômios de Legendre.
Passo 5
Comparando a expansão acima com a fórmula de Rodrigues, percebemos que os termos da série estão diretamente relacionados aos polinômios de Legendre. Assim, mostramos que a função geradora dos polinômios de Legendre pode ser obtida a partir da expansão em série de Taylor de
no contexto do potencial elétrico de um dipolo.
Resposta
Conseguimos demonstrar que a função geradora dos polinômios de Legendre é:
Isso mostra que os polinômios de Legendre podem ser obtidos a partir da expansão em série de Taylor de
no cálculo do potencial elétrico de um dipolo quando
.