Uma esfera condutora sólida de raio R com carga Q positiva está no interior de uma casca esférica muito fina isolante e concêntrica, com raio 2 R e que também possui uma carga Q, que está distribuída uniformemente sobre a casca esférica isolante. a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) em cada uma das regiões 0 e r>2 R. b) faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância r.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera condutora sólida de raio com carga positiva no seu interior, e uma casca esférica muito fina e isolante, concêntrica com a esfera, de raio também com carga distribuída uniformemente. O conteúdo principal aqui envolve Lei de Gauss e campo elétrico. Vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor dessas esferas.

Passo 2

Vamos começar analisando o campo elétrico em diferentes regiões:
  1. Região interna à esfera condutora ( oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 ):
    Para , estamos dentro de uma esfera condutora. Em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior é zero. Isso ocorre porque as cargas se redistribuem na superfície para que o campo interno se anule.
  2. Região entre a esfera condutora e a casca isolante ( ):
    Nessa região, podemos aplicar a Lei de Gauss. A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada pela superfície dividida pela constante dielétrica do vácuo ( ):
    Aqui, a única carga encerrada é a carga da esfera condutora.
  3. Região externa à casca isolante ( ):
    Novamente, aplicamos a Lei de Gauss. Agora, a carga total encerrada é a soma das cargas da esfera condutora e da casca isolante, ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico para cada região usando a Lei de Gauss:
  1. Para E = 0 :
    Como mencionado, dentro do condutor, o campo elétrico é zero:
    oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0
  2. Para E = Q4pi varepsilon0 r^2 :
    Aplicando a Lei de Gauss, a superfície gaussiana é uma esfera de raio oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2 = 2Qvarepsilon0 . O fluxo elétrico é:
    E = 2Q4pi varepsilon0 r^2 = Q2pi varepsilon0 r^2
    Resolvendo para :
  3. Para :
    Agora, a carga total é . A superfície gaussiana de raio envolve ambas as cargas:
    Resolvendo para :

Passo 4

Agora, vamos resumir os resultados obtidos:
  • Para E = 0 :
    E = Q4pi varepsilon0 r^2
    Interpretação: Não há campo elétrico dentro do condutor.
  • Para E = Q2pi varepsilon0 r^2 :
    Interpretação: O campo elétrico diminui com o quadrado da distância a partir do centro, e sua direção é radial, saindo da esfera condutora.
  • Para :
    Interpretação: Ainda é um campo radial, mas agora com o dobro da carga efetiva, fazendo com que o campo seja maior do que na região anterior para a mesma distância.

Resposta

a) O campo elétrico E(r) = 0 & para 0 < r < R dfracQ4pi varepsilon0 r^2 & para R < r < 2R dfracQ2pi varepsilon0 r^2 & para r > 2R em cada região é dado por:
b) O gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância apresenta três comportamentos:
  • Para : O campo é zero, representado por uma linha horizontal na altura zero.
  • Para : O campo decresce proporcionalmente a , formando uma curva descendente.
  • Para : O campo continua decrescendo proporcionalmente a , mas com o dobro da intensidade comparado à região anterior devido à carga dupla efetiva.

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