Uma esfera condutora sólida de raio com carga positiva está no interior de uma casca esférica muito fina isolante e concêntrica, com raio e que também possui uma carga , que está distribuída uniformemente sobre a casca esférica isolante. a) Determine o campo elétrico (módulo, direção e sentido) em cada uma das regiões e . b) faça um gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma esfera condutora sólida de raio com carga positiva no seu interior, e uma casca esférica muito fina e isolante, concêntrica com a esfera, de raio também com carga distribuída uniformemente. O conteúdo principal aqui envolve Lei de Gauss e campo elétrico. Vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss para determinar o campo elétrico em diferentes regiões ao redor dessas esferas.
Passo 2
Vamos começar analisando o campo elétrico em diferentes regiões:
Região interna à esfera condutora ():
Para , estamos dentro de uma esfera condutora. Em um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico no interior é zero. Isso ocorre porque as cargas se redistribuem na superfície para que o campo interno se anule.
Região entre a esfera condutora e a casca isolante ():
Nessa região, podemos aplicar a Lei de Gauss. A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total encerrada pela superfície dividida pela constante dielétrica do vácuo ():
Aqui, a única carga encerrada é a carga da esfera condutora.
Região externa à casca isolante ():
Novamente, aplicamos a Lei de Gauss. Agora, a carga total encerrada é a soma das cargas da esfera condutora e da casca isolante, ou seja, .
Passo 3
Vamos calcular o campo elétrico para cada região usando a Lei de Gauss:
Para :
Como mencionado, dentro do condutor, o campo elétrico é zero:
Para :
Aplicando a Lei de Gauss, a superfície gaussiana é uma esfera de raio . O fluxo elétrico é:
Resolvendo para :
Para :
Agora, a carga total é . A superfície gaussiana de raio envolve ambas as cargas:
Resolvendo para :
Passo 4
Agora, vamos resumir os resultados obtidos:
Para :
Interpretação: Não há campo elétrico dentro do condutor.
Para :
Interpretação: O campo elétrico diminui com o quadrado da distância a partir do centro, e sua direção é radial, saindo da esfera condutora.
Para :
Interpretação: Ainda é um campo radial, mas agora com o dobro da carga efetiva, fazendo com que o campo seja maior do que na região anterior para a mesma distância.
Resposta
a) O campo elétrico em cada região é dado por:
b) O gráfico do módulo do campo elétrico em função da distância apresenta três comportamentos:
Para : O campo é zero, representado por uma linha horizontal na altura zero.
Para : O campo decresce proporcionalmente a , formando uma curva descendente.
Para : O campo continua decrescendo proporcionalmente a , mas com o dobro da intensidade comparado à região anterior devido à carga dupla efetiva.