Uma esfera condutora sólida de raio
possui uma carga positiva
. A esfera está no interior de uma esfera oca isolante e concêntrica com raio interno
e raio externo
. A esfera isolante possui uma densidade de carga uniforme
. (a) Calcule o valor de
para que a carga total do sistema seja igual a zero. (b) Usando o valor de
encontrado na parte (a), determine o módulo, a direção e o sentido do campo elétrico em cada uma das regiões
,
, e
. Mostre seus resultados em um gráfico do componente radial de
em função da distância
. © Sabemos que, geralmente, o campo elétrico é descontínuo somente através de uma fronteira onde existe uma fina camada de cargas. Explique como seu resultado da parte (b) confirma essa regra.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática juntos! Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos duas esferas concêntricas: uma esfera condutora sólida com raio $ R $ e carga positiva $ Q $, e uma esfera oca isolante com raio interno $ R $ e raio externo $ 2R $, com densidade de carga uniforme $ \rho $. Precisamos:
a) Encontrar o valor de $ \rho $ para que a carga total do sistema seja zero.
b) Com esse $ \rho
0 < r < R
R < r < 2R
r > 2R $). Além disso, devemos mostrar isso em um gráfico.
c) Explicar como o resultado da parte (b) confirma que o campo elétrico só é descontínuo onde há uma fina camada de cargas.
Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Encontrando $ \rho $ para que a carga total seja zero
Primeiro, a carga total do sistema é a soma das cargas da esfera condutora e da esfera isolante. Queremos que essa soma seja zero:
Sabemos que $ Q_{condutor} = Q $. Agora, vamos calcular $ Q_{isolante} $. A carga da esfera isolante é dada pela densidade de carga $ \rho $ multiplicada pelo volume da esfera oca:
O volume da esfera oca é a diferença entre os volumes das duas esferas:
Então:
Agora, impondo $ Q + Q_{isolante} = 0 $:
Resolvendo para $ \rho $:
Passo 3
Parte (b): Determinando o campo elétrico nas diferentes regiões
Agora que temos $ \rho $, vamos calcular o campo elétrico $ \mathbf{E} $ em cada região usando a Lei de Gauss, que nos diz que:
Onde $ Q_{enc} $ é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Vamos considerar três regiões:
-
Dentro da esfera condutora ($ 0 < r < R $)Dentro de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero. Portanto:
-
Na região isolante ($ R < r < 2R $)Aqui, o campo elétrico é devido à carga da esfera condutora e à carga dentro da esfera isolante até o ponto $ r $.A carga dentro da esfera isolante até o raio $ r $ é:Substituindo $ \rho $ que encontramos:Aplicando a Lei de Gauss:Substituindo $ Q_{enc} $:
-
Fora das duas esferas ($ r > 2R $)Aqui, toda a carga do sistema está dentro da superfície gaussiana. Mas sabemos que a carga total é zero:Portanto:
Gráfico do Campo Elétrico em função de $ r $:
- Para $ 0 < r < R $: $ E = 0 $
- Para $ R < r < 2R $: $ E $ varia conforme a expressão acima
- Para $ r > 2R $: $ E = 0 $
[Imagine aqui um gráfico onde $ E $ é zero nas regiões $ 0 < r < R $ e $ r > 2R $, e aumenta/decrece de acordo com a fórmula para $ R < r < 2R $]
Passo 4
Parte ©: Confirmando a regra da descontinuidade do campo elétrico
A regra geral é que o campo elétrico só apresenta descontinuidade em superfícies onde há uma camada de carga. No nosso caso:
- Na interface $ r = R $, há uma carga na superfície da esfera condutora.
- Na interface $ r = 2R $, termina a distribuição de carga da esfera isolante.
Nos resultados da parte (b), vemos que:
- Para $ 0 < r < R $ e $ r > 2R $, o campo elétrico é zero.
- Para $ R < r < 2R $, o campo elétrico varia de acordo com a posição.
Isso indica que há uma mudança no comportamento do campo elétrico exatamente nas superfícies $ r = R $ e $ r = 2R $, onde existem camadas de carga. Portanto, nosso resultado confirma que o campo elétrico é descontínuo apenas nas fronteiras onde há uma fina camada de cargas.
Resposta
a) A densidade de carga $ \rho $ necessária para que a carga total do sistema seja zero é: