Uma partícula de 2,00 kg tem coordenada x y ( -1,20 m ; 0,500 m ) e uma partícula de 4,00 kg tem coordenadas x y(0,600 m ;-0,750 m). Ambas estão em um plano horizontal. Em que coordenada x deve ser posicionada uma terceira partícula de 3,00 kg para que o centro de massa do sistema de três partículas tenha coordenadas (-0,500 m,-0,700 m) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas partículas com massas e posições conhecidas em um plano horizontal, e precisa colocar uma terceira partícula de 3,00 kg em um ponto na coordenada x de modo que o centro de massa de todo o sistema fique em (-0,500 m, -0,700 m). Para resolver isso, vamos usar os conceitos de centro de massa e fazer alguns cálculos básicos de física e matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de massa. É um ponto que representa a média ponderada das posições de todas as massas no sistema. A fórmula para encontrar as coordenadas do centro de massa ( xcm e ycm) é:
xcm = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3m1 + m2 + m3
ycm = m1 y1 + m2 y2 + m3 y3m1 + m2 + m3
Onde mi são as massas e xi, yi são as coordenadas de cada partícula.

Passo 3

Vamos listar os dados que temos:
  • Massa 1 ( m1): 2,00 kg, posição (-1,20 , m, 0,500 , m)
  • Massa 2 ( m2): 4,00 kg, posição (0,600 , m, -0,750 , m)
  • Massa 3 ( m3): 3,00 kg, posição (x3, y3) — queremos encontrar x3
  • Centro de massa desejado: (-0,500 , m, -0,700 , m)
Sabemos que queremos que o centro de massa esteja nas coordenadas dadas, então podemos usar a fórmula do centro de massa para as duas direções, mas como só precisamos achar x3, vamos focar na equação de xcm.

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula do centro de massa para a coordenada x:
-0,500 = (2,00)(-1,20) + (4,00)(0,600) + (3,00)(x3)2,00 + 4,00 + 3,00
Primeiro, somamos as massas:
2,00 + 4,00 + 3,00 = 9,00 , kg

Passo 5

Agora, vamos calcular o numerador:
(2,00)(-1,20) = -2,40
(4,00)(0,600) = 2,40
(3,00)(x3) = 3,00x3
Então, o numerador fica:
-2,40 + 2,40 + 3,00x3 = 3,00x3

Passo 6

Agora, substituímos de volta na equação do centro de massa:
-0,500 = 3,00x39,00
Simplificando a fração:
-0,500 = x33

Passo 7

Para encontrar x3, multiplicamos ambos os lados da equação por 3:
x3 = -0,500 times 3
x3 = -1,500 , m

Resposta

A terceira partícula de 3,00 kg deve ser posicionada na coordenada x = -1,500 m para que o centro de massa do sistema esteja em (-0,500 m, -0,700 m).

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