Uma esfera condutora sólida, de raio , possui uma carga positiva . (a) Determine o campo elétrico dentro da esfera, fora dela e na sua superfície. (b) Faça um gráfico de em função de , a distância a partir do centro da esfera, desde até .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma esfera condutora sólida com raio e carga positiva . Precisamos encontrar o campo elétrico dentro da esfera, fora dela e na superfície. Além disso, vamos fazer um gráfico de em função da distância desde o centro da esfera até . Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e as propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que, em um condutor em equilíbrio eletrostático, toda a carga se distribui na superfície. Isso significa que, dentro do condutor (ou seja, para ), o campo elétrico é zero. Isso acontece porque as cargas se rearranjam de forma que anulam qualquer campo elétrico interno.
Passo 3
Agora, na superfície da esfera (), o campo elétrico pode ser calculado usando a Lei de Gauss. Considerando uma superfície gaussiana esférica de raio , temos:
Isolando :
Então, na superfície da esfera, o campo elétrico é:
onde é o vetor unitário na direção radial.
Passo 4
Para a região fora da esfera (), novamente usamos a Lei de Gauss. Considerando uma superfície gaussiana esférica de raio , temos:
Isolando :
Portanto, fora da esfera, o campo elétrico é:
Passo 5
Resumindo os resultados obtidos:
Dentro da esfera ():
Na superfície da esfera ():
Fora da esfera ():
Passo 6
Agora, para o gráfico de em função de desde até :
Para : O campo elétrico . Então, nesse intervalo, o gráfico será uma linha horizontal no zero.
Para : O campo elétrico tem um valor finito .
Para : O campo elétrico decresce conforme . Isso significa que o gráfico será uma curva que diminui rapidamente à medida que aumenta.
O gráfico será uma linha horizontal em até , depois uma descontinuidade (porque na superfície o campo assume um valor positivo), e para , o campo decresce proporcionalmente a .
Resposta
O campo elétrico da esfera condutora sólida é:
E o gráfico de em função de apresenta para , um salto para na superfície (), e decresce seguindo para .