Uma esfera condutora sólida, de raio R, possui uma carga positiva q. (a) Determine o campo elétrico E dentro da esfera, fora dela e na sua superfície. (b) Faça um gráfico de E em função de r, a distância a partir do centro da esfera, desde r=0 até r=3 R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma esfera condutora sólida com raio e carga positiva . Precisamos encontrar o campo elétrico dentro da esfera, fora dela e na superfície. Além disso, vamos fazer um gráfico de em função da distância desde o centro da esfera até . Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a Lei de Gauss e as propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, em um condutor em equilíbrio eletrostático, toda a carga se distribui na superfície. Isso significa que, dentro do condutor (ou seja, para ), o campo elétrico é zero. Isso acontece porque as cargas se rearranjam de forma que anulam qualquer campo elétrico interno.

Passo 3

Agora, na superfície da esfera ( E cdot 4pi R^2 = qvarepsilon0 ), o campo elétrico pode ser calculado usando a Lei de Gauss. Considerando uma superfície gaussiana esférica de raio E = q4pi varepsilon0 R^2 , temos:
E = q4pi varepsilon0 R^2 r
Isolando :
Então, na superfície da esfera, o campo elétrico é:
onde é o vetor unitário na direção radial.

Passo 4

Para a região fora da esfera ( E cdot 4pi r^2 = qvarepsilon0 ), novamente usamos a Lei de Gauss. Considerando uma superfície gaussiana esférica de raio E = q4pi varepsilon0 r^2 , temos:
E = q4pi varepsilon0 r^2 r
Isolando :
Portanto, fora da esfera, o campo elétrico é:

Passo 5

Resumindo os resultados obtidos:
  • Dentro da esfera ( E = 0 ):
    E = q4pi varepsilon0 R^2 r
  • Na superfície da esfera ( E = q4pi varepsilon0 r^2 r ):
  • Fora da esfera ( ):

Passo 6

Agora, para o gráfico de em função de desde até :
  1. Para : O campo elétrico . Então, nesse intervalo, o gráfico será uma linha horizontal no zero.
  2. Para : O campo elétrico tem um valor finito .
  3. Para : O campo elétrico decresce conforme . Isso significa que o gráfico será uma curva que diminui rapidamente à medida que aumenta.
O gráfico será uma linha horizontal em até , depois uma descontinuidade (porque na superfície o campo assume um valor positivo), e para , o campo decresce proporcionalmente a .

Resposta

O campo elétrico E = 0, & para r < R q4pi varepsilon0 R^2 r, & para r = R q4pi varepsilon0 r^2 r, & para r > R da esfera condutora sólida é:
E o gráfico de em função de apresenta para , um salto para na superfície ( ), e decresce seguindo para .

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