• O tetravetor momento é dado por . Definimos o vetor tetravelocidade como a derivada da posição de uma partícula em relação ao seu tempo próprio .
    a) Lembrando que mostre que
onde é a velocidade (3D) da partícula em relação ao referencial S.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem esse exercício que fala sobre o tetravetor momento, , e queremos trabalhar com a tetravelocidade. A ideia aqui é entender como calcular a tetravelocidade da partícula usando o tempo próprio . Para resolver, vamos precisar lembrar que o tempo próprio está relacionado com o tempo do referencial pela relação , onde é o fator de Lorentz. Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a posição da partícula em termos do tempo próprio. A posição tetravector é dada por:
Queremos encontrar a tetravelocidade , que é a derivada de em relação ao tempo próprio :
Mas sabemos que , então podemos reescrever a derivada usando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Lembrando que , a derivada em relação a fica:
onde é a velocidade 3D da partícula no referencial .

Passo 4

Substituindo isso na expressão que tínhamos para :
Então, chegamos na expressão desejada para a tetravelocidade.

Resposta

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