• O tetravetor momento é dado por P=(E / c, p). Definimos o vetor tetravelocidade como a derivada da posição X=(c t, r) de uma partícula em relação ao seu tempo próprio tau.
    a) Lembrando que d tau=d t / gamma mostre que
U=d Xd tau=gamma(u)(c, u)
onde u é a velocidade (3D) da partícula em relação ao referencial S.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem esse exercício que fala sobre o tetravetor momento, , e queremos trabalhar com a tetravelocidade. A ideia aqui é entender como calcular a tetravelocidade da partícula usando o tempo próprio . Para resolver, vamos precisar lembrar que o tempo próprio está relacionado com o tempo do referencial pela relação , onde é o fator de Lorentz. Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a posição da partícula em termos do tempo próprio. A posição tetravector é dada por:
X = (c t, r)
Queremos encontrar a tetravelocidade U = dXdtau , que é a derivada de dXdtau = dXdt cdot dtdtau = dXdt cdot gamma em relação ao tempo próprio :
Mas sabemos que , então podemos reescrever a derivada usando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular dXdt = ( c, drdt ) = ( c, u ) . Lembrando que , a derivada em relação a fica:
onde é a velocidade 3D da partícula no referencial .

Passo 4

Substituindo isso na expressão que tínhamos para U = dXdt cdot gamma = gamma ( c, u ) :
Então, chegamos na expressão desejada para a tetravelocidade.

Resposta

U = gamma(u) ( c, u )

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