• Uma nave espacial de massa viaja com velocidade constante pelo espaço. Para acelerar, ela vai ejetar uma massa de durante um tempo muito curto (que vamos aproximar como sendo instantâneo) a uma velocidade de em relação à nave.
    b) Calcule essa mesma velocidade, agora usando a mecânica de Newton.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos uma nave espacial com massa de kg que está se movendo com velocidade constante no espaço. Para acelerar, ela vai ejetar uma massa de kg de forma instantânea a uma velocidade de em relação à nave. Nosso objetivo é calcular essa velocidade final da nave usando a mecânica de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na mecânica de Newton, a quantidade de movimento (ou momento linear) é conservada, desde que não haja forças externas atuando no sistema. A quantidade de movimento é dada pela fórmula:
onde é o momento linear, é a massa e é a velocidade.

Passo 3

Antes da ejeção, toda a massa da nave está se movendo com uma velocidade constante. A quantidade de movimento inicial ( ) da nave é:
Como a nave está se movendo com velocidade constante, é a velocidade antes da ejeção.

Passo 4

Após a ejeção, a masse total do sistema permanece a mesma, mas agora temos duas partes: a nave com massa reduzida e a massa ejetada. A quantidade de movimento final ( ) é a soma das quantidades de movimento da nave e da massa ejetada:
Aqui, é a velocidade da nave após a ejeção e é a velocidade da massa ejetada em relação à nave.

Passo 5

Como a quantidade de movimento é conservada:
Substituindo as expressões:

Passo 6

Vamos considerar que a velocidade inicial da nave ( ) é constante e pode ser considerada como . A velocidade da massa ejetada ( ) é dada como em relação à nave. Na mecânica newtoniana, as velocidades relativas se somam diretamente, então:

Passo 7

Substituindo na equação da conservação do momento:

Passo 8

Distribuindo :
Simplificando os termos:

Passo 9

Isolando :

Passo 10

Substituindo os valores dados:

Resposta

A velocidade final da nave após a ejeção é:

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onde é a aceleração (3D) medida no referencial S, e onde
Mostre também que, no referencial instantâneo de repouso, temos .
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