• Uma nave espacial de massa 10^6 kg viaja com velocidade constante pelo espaço. Para acelerar, ela vai ejetar uma massa de 10^3 kg durante um tempo muito curto (que vamos aproximar como sendo instantâneo) a uma velocidade de c / 2 em relação à nave.
    b) Calcule essa mesma velocidade, agora usando a mecânica de Newton.

Passo 1

Vamos analisar o problema: temos uma nave espacial com massa de kg que está se movendo com velocidade constante no espaço. Para acelerar, ela vai ejetar uma massa de kg de forma instantânea a uma velocidade de em relação à nave. Nosso objetivo é calcular essa velocidade final da nave usando a mecânica de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na mecânica de Newton, a quantidade de movimento (ou momento linear) é conservada, desde que não haja forças externas atuando no sistema. A quantidade de movimento é dada pela fórmula:
p = m times v
onde é o momento linear, é a massa e é a velocidade.

Passo 3

Antes da ejeção, toda a massa da nave está se movendo com uma velocidade constante. A quantidade de movimento inicial ( pinicial = mnave times vinicial ) da nave é:
Como a nave está se movendo com velocidade constante, é a velocidade antes da ejeção.

Passo 4

Após a ejeção, a masse total do sistema permanece a mesma, mas agora temos duas partes: a nave com massa reduzida e a massa ejetada. A quantidade de movimento final ( pfinal = (mnave - mejetada) times vfinal + mejetada times vejetada ) é a soma das quantidades de movimento da nave e da massa ejetada:
Aqui, é a velocidade da nave após a ejeção e é a velocidade da massa ejetada em relação à nave.

Passo 5

Como a quantidade de movimento é conservada:
pinicial = pfinal
Substituindo as expressões:
mnave times vinicial = (mnave - mejetada) times vfinal + mejetada times vejetada

Passo 6

Vamos considerar que a velocidade inicial da nave ( vejetada = vfinal - c2 ) é constante e pode ser considerada como . A velocidade da massa ejetada ( ) é dada como em relação à nave. Na mecânica newtoniana, as velocidades relativas se somam diretamente, então:

Passo 7

Substituindo mnave times v = (mnave - mejetada) times vfinal + mejetada times ( vfinal - c2 ) na equação da conservação do momento:

Passo 8

Distribuindo mnave times v = (mnave - mejetada) times vfinal + mejetada times vfinal - mejetada times c2 :
mnave times v = mnave times vfinal - mejetada times c2
Simplificando os termos:

Passo 9

Isolando mnave times v - mnave times vfinal = - mejetada times c2 :
mnave times (v - vfinal) = - mejetada times c2
v - vfinal = - mejetada times c2mnave
vfinal = v + mejetada times c2mnave

Passo 10

Substituindo os valores dados:
vfinal = v + 10^3 times c210^6
vfinal = v + 10^3 times 3 times 10^8 , m/s2 times 10^6
vfinal = v + 3 times 10^112 times 10^6
vfinal = v + 1.5 times 10^5 , m/s

Resposta

A velocidade final da nave após a ejeção é:
vfinal = v + 1.5 times 10^5 , m/s

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