- Uma nave espacial de massa
viaja com velocidade constante pelo espaço. Para acelerar, ela vai ejetar uma massa de
durante um tempo muito curto (que vamos aproximar como sendo instantâneo) a uma velocidade de
em relação à nave.
b) Calcule essa mesma velocidade, agora usando a mecânica de Newton.
b) Calcule essa mesma velocidade, agora usando a mecânica de Newton.
Passo 1
Vamos analisar o problema: temos uma nave espacial com massa de
kg que está se movendo com velocidade constante no espaço. Para acelerar, ela vai ejetar uma massa de
kg de forma instantânea a uma velocidade de
em relação à nave. Nosso objetivo é calcular essa velocidade final da nave usando a mecânica de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na mecânica de Newton, a quantidade de movimento (ou momento linear) é conservada, desde que não haja forças externas atuando no sistema. A quantidade de movimento é dada pela fórmula:
onde
é o momento linear,
é a massa e
é a velocidade.
Passo 3
Antes da ejeção, toda a massa da nave está se movendo com uma velocidade constante. A quantidade de movimento inicial (
) da nave é:
Como a nave está se movendo com velocidade constante,
é a velocidade antes da ejeção.
Passo 4
Após a ejeção, a masse total do sistema permanece a mesma, mas agora temos duas partes: a nave com massa reduzida e a massa ejetada. A quantidade de movimento final (
) é a soma das quantidades de movimento da nave e da massa ejetada:
Aqui,
é a velocidade da nave após a ejeção e
é a velocidade da massa ejetada em relação à nave.
Passo 5
Como a quantidade de movimento é conservada:
Substituindo as expressões:
Passo 6
Vamos considerar que a velocidade inicial da nave (
) é constante e pode ser considerada como
. A velocidade da massa ejetada (
) é dada como
em relação à nave. Na mecânica newtoniana, as velocidades relativas se somam diretamente, então:
Passo 7
Substituindo
na equação da conservação do momento:
Passo 8
Distribuindo
:
Simplificando os termos:
Passo 9
Isolando
:
Passo 10
Substituindo os valores dados:
Resposta
A velocidade final da nave após a ejeção é:
Exercícios relacionados
Considerando as definições do problema 1, defina agora o tetravetor aceleração como a derivada da velocidade
em relação ao tempo próprio, ou seja,
. Mostre que:
onde
é a aceleração (3D) medida no referencial S, e onde
Mostre também que, no referencial instantâneo de repouso, temos
.
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e © para
.
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até
.