Uma esfera condutora sólida de raio a tem carga
e é cercada por uma casca esférica concêntrica condutora de raio interno
e raio externo
, com carga elétrica total nula, conforme imagem abaixo. Encontre o potencial elétrico entre a superfície da esfera condutora sólida e a superfície externa da casca condutora. [Dica: utilize a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico nas diferentes regiōes.]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera condutora sólida com raio
e carga
, cercada por uma casca esférica concêntrica condutora com raios interno
e externo
, e sem carga total. Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico entre a superfície da esfera sólida e a superfície externa da casca. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a determinar o campo elétrico em diferentes regiões. Vamos precisar entender conceitos como campo elétrico, potencial elétrico e como aplicar a Lei de Gauss em configurações simétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as diferentes regiões ao redor das esferas:
- Região 1: Dentro da esfera condutora sólida (
) - Região 2: Entre a esfera sólida e a casca interna da casca condutora (
) - Região 3: Dentro da casca condutora (
) - Região 4: Fora da casca (
)
Passo 3
Vamos começar calculando o campo elétrico em cada uma dessas regiões usando a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga interna:
Onde
é o campo elétrico,
é o elemento de área da superfície gaussiana,
é a carga total dentro da superfície, e
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 4
Região 1 (
):
Como a esfera é condutora, o campo elétrico dentro dela é zero:
Isso porque as cargas se distribuem na superfície da esfera, deixando o interior livre de campo elétrico.
Passo 5
Região 2 (
):
Aqui, estamos entre a esfera sólida e a casca interna. A carga interna que afeta o campo é apenas a carga
da esfera. Aplicando a Lei de Gauss:
Então, o campo elétrico nesta região é:
Passo 6
Região 3 (
):
Nesta região, estamos dentro da casca condutora. Como a casca tem carga total nula e é condutora, o campo elétrico aqui também é zero:
As cargas se distribuem na superfície interna e externa da casca, mas dentro do material condutor, o campo é cancelado.
Passo 7
Região 4 (
):
Fora da casca, a carga total considerada é a carga da esfera mais a carga da casca. Como a casca tem carga total nula, o campo aqui é apenas devido à carga
:
Passo 8
Agora que temos o campo elétrico em cada região, podemos encontrar o potencial elétrico
entre a superfície da esfera (
) e a superfície externa da casca (
). O potencial é dado pela integral do campo elétrico:
Como em algumas regiões
, só precisamos integrar onde
é diferente de zero, ou seja, entre
e
, e entre
e
(onde o campo é zero).
Passo 9
Calculando a integral:
Note que não há contribuição da região entre
e
porque o campo é zero lá.
Resposta
O potencial elétrico entre a superfície da esfera condutora sólida e a superfície externa da casca condutora é:
Exercícios relacionados
Seu primo Tiago está brincando com a corda de seu varal de roupas, sacudindo-a senoidalmente para cima e para baixo com uma frequência igual a 2.00 Hz e uma amplitude de 0.075 m . A velocidade da onda é
. No instante
, a extremidade de Tiago possui um deslocamento positivo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida de volta na extremidade afastada. Escreva equações para o deslocamento em função do tempo na extremidade da corda que Tiago segura e em um ponto situado a 3.0 m dessa extremidade.
Seu primo Tiago está brincando com a corda de seu varal de roupas, sacudindo-a senoidalmente para cima e para baixo com uma frequência igual a 2.00 Hz e uma amplitude de 0.075 m . A velocidade da onda é
. No instante
, a extremidade de Tiago possui um deslocamento positivo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida de volta na extremidade afastada. Ache a amplitude da onda
, a frequência angular ou pulsação
, o período
, o comprimento de onda
e o número de onda
.
As ondas são sempre periódicas? Eles são sempre harmônicos?
Em relação a um sistema de coordenadas(um referencial no espaço) foram colocadas as seguintes cargas:
na posição
, em
, em
. Calcule, em termos dos vetores unitários do referencial, o vetor força total que age sobre a carga
.