Uma esfera condutora sólida de raio a tem carga e é cercada por uma casca esférica concêntrica condutora de raio interno e raio externo , com carga elétrica total nula, conforme imagem abaixo. Encontre o potencial elétrico entre a superfície da esfera condutora sólida e a superfície externa da casca condutora. [Dica: utilize a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico nas diferentes regiōes.]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera condutora sólida com raio e carga , cercada por uma casca esférica concêntrica condutora com raios interno e externo , e sem carga total. Nosso objetivo é encontrar o potencial elétrico entre a superfície da esfera sólida e a superfície externa da casca. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a determinar o campo elétrico em diferentes regiões. Vamos precisar entender conceitos como campo elétrico, potencial elétrico e como aplicar a Lei de Gauss em configurações simétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as diferentes regiões ao redor das esferas:
  1. Região 1: Dentro da esfera condutora sólida ( )
  2. Região 2: Entre a esfera sólida e a casca interna da casca condutora ( )
  3. Região 3: Dentro da casca condutora ( )
  4. Região 4: Fora da casca ( )

Passo 3

Vamos começar calculando o campo elétrico em cada uma dessas regiões usando a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga interna:
Onde é o campo elétrico, é o elemento de área da superfície gaussiana, é a carga total dentro da superfície, e é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 4

Região 1 ( ):
Como a esfera é condutora, o campo elétrico dentro dela é zero:
Isso porque as cargas se distribuem na superfície da esfera, deixando o interior livre de campo elétrico.

Passo 5

Região 2 ( ):
Aqui, estamos entre a esfera sólida e a casca interna. A carga interna que afeta o campo é apenas a carga da esfera. Aplicando a Lei de Gauss:
Então, o campo elétrico nesta região é:

Passo 6

Região 3 ( ):
Nesta região, estamos dentro da casca condutora. Como a casca tem carga total nula e é condutora, o campo elétrico aqui também é zero:
As cargas se distribuem na superfície interna e externa da casca, mas dentro do material condutor, o campo é cancelado.

Passo 7

Região 4 ( ):
Fora da casca, a carga total considerada é a carga da esfera mais a carga da casca. Como a casca tem carga total nula, o campo aqui é apenas devido à carga :

Passo 8

Agora que temos o campo elétrico em cada região, podemos encontrar o potencial elétrico entre a superfície da esfera ( ) e a superfície externa da casca ( ). O potencial é dado pela integral do campo elétrico:
Como em algumas regiões , só precisamos integrar onde é diferente de zero, ou seja, entre e , e entre e (onde o campo é zero).

Passo 9

Calculando a integral:
Note que não há contribuição da região entre e porque o campo é zero lá.

Resposta

O potencial elétrico entre a superfície da esfera condutora sólida e a superfície externa da casca condutora é:

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