Seu primo Tiago está brincando com a corda de seu varal de roupas, sacudindo-a senoidalmente para cima e para baixo com uma frequência igual a 2.00 Hz e uma amplitude de 0.075 m . A velocidade da onda é v=12.0 m / s. No instante t=0, a extremidade de Tiago possui um deslocamento positivo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida de volta na extremidade afastada. Escreva equações para o deslocamento em função do tempo na extremidade da corda que Tiago segura e em um ponto situado a 3.0 m dessa extremidade.

Passo 1

Resumo da Questão e Conteúdo Necessário
Vamos resolver um exercício sobre ondas senoidais em uma corda. O primo Tiago está sacudindo uma corda com uma frequência de 2,00 Hz e uma amplitude de 0,075 m. A velocidade da onda na corda é de 12,0 m/s. No momento inicial (t = 0), a extremidade que Tiago segura está no deslocamento máximo positivo e em repouso. Precisamos encontrar as equações que descrevem o deslocamento da corda em função do tempo tanto na extremidade que Tiago segura quanto em um ponto que está a 3,0 m dessa extremidade.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas mecânicas, especificamente a equação da onda senoidal. Vamos precisar entender como a frequência, amplitude, velocidade da onda e posição afetam o deslocamento ao longo do tempo.

Passo 2

Entendendo a Equação da Onda Senoidal
A equação geral para uma onda senoidal que se propaga ao longo de uma corda é dada por:
y(x, t) = A sin(kx - omega t + phi)
Onde:
  • é o deslocamento no ponto e no tempo .
  • é a amplitude da onda.
  • é o número de onda, que relaciona a distância entre os picos da onda.
  • é a frequência angular, que relaciona como a onda oscila no tempo.
  • é a fase inicial da onda.
Vamos identificar cada um desses componentes com os dados que temos.

Passo 3

Calculando o Número de Onda ( v = lambda f ) e a Frequência Angular ( k = 2pilambda )
Primeiro, vamos calcular o número de onda omega = 2pi f e a frequência angular omega = 2pi f = 2pi times 2,00 , Hz = 4pi , rad/s .
A velocidade da onda lambda = vf = 12,0 , m/s2,00 , Hz = 6,0 , m está relacionada com o número de onda k = 2pilambda = 2pi6,0 , m = pi3 , rad/m e a frequência pela equação:
Onde é o comprimento de onda. Mas também sabemos que:
E:
Primeiro, calculamos :
Agora, encontramos usando :
Então, o número de onda é:

Passo 4

Determinando a Fase Inicial ( A sin(phi) = A Rightarrow sin(phi) = 1 Rightarrow phi = pi2 )
No instante partial ypartial t = -A omega cos(kx - omega t + phi) = 0 , a extremidade que Tiago segura está no deslocamento máximo positivo e em repouso. Isso significa que -A omega cos(phi) = 0 Rightarrow cos(pi2) = 0 e a velocidade é zero.
Para :
Para a velocidade ser zero:
A derivada da função em relação ao tempo deve ser zero:
No ponto e :
Isso confirma que está correto.

Passo 5

Escrevendo a Equação para a Extremidade que Tiago Segura
Agora que temos todos os componentes, podemos escrever a equação para o deslocamento na extremidade que Tiago segura ( y(0, t) = A sin(0 - omega t + pi2) ):
y(0, t) = A sin(-omega t + pi2)
y(0, t) = A cos(omega t)
Usando a identidade trigonométrica y(0, t) = 0,075 , m times cos(4pi t) :
Substituindo os valores de e :

Passo 6

Escrevendo a Equação para o Ponto a 3,0 m da Extremidade
Agora, queremos a equação para um ponto que está a 3,0 m da extremidade que Tiago segura ( y(3, t) = A sin(k times 3,0 , m - omega t + pi2) ):
y(3, t) = 0,075 , m times sin(pi3 times 3,0 , m - 4pi t + pi2)
Substituindo os valores de y(3, t) = 0,075 , m times sin(pi - 4pi t + pi2) e y(3, t) = 0,075 , m times sin(3pi2 - 4pi t) :
y(3, t) = 0,075 , m times (-cos(4pi t))
y(3, t) = -0,075 , m times cos(4pi t)
Usando a identidade trigonométrica :

Resposta

As equações para o deslocamento em função do tempo são:
  • Na extremidade que Tiago segura ( y(0, t) = 0,075 , m times cos(4pi t) ):
    y(3, t) = -0,075 , m times cos(4pi t)
  • No ponto a 3,0 m da extremidade ( ):

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