Seu primo Tiago está brincando com a corda de seu varal de roupas, sacudindo-a senoidalmente para cima e para baixo com uma frequência igual a 2.00 Hz e uma amplitude de 0.075 m . A velocidade da onda é
. No instante
, a extremidade de Tiago possui um deslocamento positivo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida de volta na extremidade afastada. Escreva equações para o deslocamento em função do tempo na extremidade da corda que Tiago segura e em um ponto situado a 3.0 m dessa extremidade.
Passo 1
Resumo da Questão e Conteúdo Necessário
Vamos resolver um exercício sobre ondas senoidais em uma corda. O primo Tiago está sacudindo uma corda com uma frequência de 2,00 Hz e uma amplitude de 0,075 m. A velocidade da onda na corda é de 12,0 m/s. No momento inicial (t = 0), a extremidade que Tiago segura está no deslocamento máximo positivo e em repouso. Precisamos encontrar as equações que descrevem o deslocamento da corda em função do tempo tanto na extremidade que Tiago segura quanto em um ponto que está a 3,0 m dessa extremidade.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas mecânicas, especificamente a equação da onda senoidal. Vamos precisar entender como a frequência, amplitude, velocidade da onda e posição afetam o deslocamento ao longo do tempo.
Passo 2
Entendendo a Equação da Onda Senoidal
A equação geral para uma onda senoidal que se propaga ao longo de uma corda é dada por:
Onde:
-
é o deslocamento no ponto e no tempo . -
é a amplitude da onda. -
é o número de onda, que relaciona a distância entre os picos da onda. -
é a frequência angular, que relaciona como a onda oscila no tempo. -
é a fase inicial da onda.
Vamos identificar cada um desses componentes com os dados que temos.
Passo 3
Calculando o Número de Onda (
) e a Frequência Angular (
)
Primeiro, vamos calcular o número de onda
e a frequência angular
.
A velocidade da onda
está relacionada com o número de onda
e a frequência
pela equação:
Onde
é o comprimento de onda. Mas também sabemos que:
E:
Primeiro, calculamos
:
Agora, encontramos
usando
:
Então, o número de onda
é:
Passo 4
Determinando a Fase Inicial (
)
No instante
, a extremidade que Tiago segura está no deslocamento máximo positivo e em repouso. Isso significa que
e a velocidade
é zero.
Para
:
Para a velocidade ser zero:
A derivada da função em relação ao tempo deve ser zero:
No ponto
e
:
Isso confirma que
está correto.
Passo 5
Escrevendo a Equação para a Extremidade que Tiago Segura
Agora que temos todos os componentes, podemos escrever a equação para o deslocamento na extremidade que Tiago segura (
):
Usando a identidade trigonométrica
:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 6
Escrevendo a Equação para o Ponto a 3,0 m da Extremidade
Agora, queremos a equação para um ponto que está a 3,0 m da extremidade que Tiago segura (
):
Substituindo os valores de
e
:
Usando a identidade trigonométrica
:
Resposta
As equações para o deslocamento em função do tempo são:
-
Na extremidade que Tiago segura (
): -
No ponto a 3,0 m da extremidade (
):
Exercícios relacionados
Seu primo Tiago está brincando com a corda de seu varal de roupas, sacudindo-a senoidalmente para cima e para baixo com uma frequência igual a 2.00 Hz e uma amplitude de 0.075 m . A velocidade da onda é
. No instante
, a extremidade de Tiago possui um deslocamento positivo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida de volta na extremidade afastada. Ache a amplitude da onda
, a frequência angular ou pulsação
, o período
, o comprimento de onda
e o número de onda
.
Como você pode expressar a densidade de energia se você conhece a componente elétrica da onda, mas não conhece a componente magnética componente?
Uma esfera condutora sólida de raio a tem carga
e é cercada por uma casca esférica concêntrica condutora de raio interno
e raio externo
, com carga elétrica total nula, conforme imagem abaixo. Encontre o potencial elétrico entre a superfície da esfera condutora sólida e a superfície externa da casca condutora. [Dica: utilize a lei de Gauss para encontrar o campo elétrico nas diferentes regiōes.]
As ondas são sempre periódicas? Eles são sempre harmônicos?