Seu primo Tiago está brincando com a corda de seu varal de roupas, sacudindo-a senoidalmente para cima e para baixo com uma frequência igual a 2.00 Hz e uma amplitude de 0.075 m . A velocidade da onda é . No instante , a extremidade de Tiago possui um deslocamento positivo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida de volta na extremidade afastada. Escreva equações para o deslocamento em função do tempo na extremidade da corda que Tiago segura e em um ponto situado a 3.0 m dessa extremidade.

Passo 1

Resumo da Questão e Conteúdo Necessário
Vamos resolver um exercício sobre ondas senoidais em uma corda. O primo Tiago está sacudindo uma corda com uma frequência de 2,00 Hz e uma amplitude de 0,075 m. A velocidade da onda na corda é de 12,0 m/s. No momento inicial (t = 0), a extremidade que Tiago segura está no deslocamento máximo positivo e em repouso. Precisamos encontrar as equações que descrevem o deslocamento da corda em função do tempo tanto na extremidade que Tiago segura quanto em um ponto que está a 3,0 m dessa extremidade.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas mecânicas, especificamente a equação da onda senoidal. Vamos precisar entender como a frequência, amplitude, velocidade da onda e posição afetam o deslocamento ao longo do tempo.

Passo 2

Entendendo a Equação da Onda Senoidal
A equação geral para uma onda senoidal que se propaga ao longo de uma corda é dada por:
Onde:
  • é o deslocamento no ponto e no tempo .
  • é a amplitude da onda.
  • é o número de onda, que relaciona a distância entre os picos da onda.
  • é a frequência angular, que relaciona como a onda oscila no tempo.
  • é a fase inicial da onda.
Vamos identificar cada um desses componentes com os dados que temos.

Passo 3

Calculando o Número de Onda ( ) e a Frequência Angular ( )
Primeiro, vamos calcular o número de onda e a frequência angular .
A velocidade da onda está relacionada com o número de onda e a frequência pela equação:
Onde é o comprimento de onda. Mas também sabemos que:
E:
Primeiro, calculamos :
Agora, encontramos usando :
Então, o número de onda é:

Passo 4

Determinando a Fase Inicial ( )
No instante , a extremidade que Tiago segura está no deslocamento máximo positivo e em repouso. Isso significa que e a velocidade é zero.
Para :
Para a velocidade ser zero:
A derivada da função em relação ao tempo deve ser zero:
No ponto e :
Isso confirma que está correto.

Passo 5

Escrevendo a Equação para a Extremidade que Tiago Segura
Agora que temos todos os componentes, podemos escrever a equação para o deslocamento na extremidade que Tiago segura ( ):
Usando a identidade trigonométrica :
Substituindo os valores de e :

Passo 6

Escrevendo a Equação para o Ponto a 3,0 m da Extremidade
Agora, queremos a equação para um ponto que está a 3,0 m da extremidade que Tiago segura ( ):
Substituindo os valores de e :
Usando a identidade trigonométrica :

Resposta

As equações para o deslocamento em função do tempo são:
  • Na extremidade que Tiago segura ( ):
  • No ponto a 3,0 m da extremidade ( ):

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Seu primo Tiago está brincando com a corda de seu varal de roupas, sacudindo-a senoidalmente para cima e para baixo com uma frequência igual a 2.00 Hz e uma amplitude de 0.075 m . A velocidade da onda é . No instante , a extremidade de Tiago possui um deslocamento positivo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida de volta na extremidade afastada. Ache a amplitude da onda , a frequência angular ou pulsação , o período , o comprimento de onda e o número de onda .
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