Em relação a um sistema de coordenadas(um referencial no espaço) foram colocadas as seguintes cargas: q1=10^-6 C na posição (3 m,-2 m, 5 m), em (0,0.1 m, 4 m), q2=2.10^-6 C, em(-1 m, 2 m, 0), q3= 3.10^-6 C e, em (3.5 m, 2.3 m,-2.7 m), q4=-3.10^-6 C. Calcule, em termos dos vetores unitários do referencial, o vetor força total que age sobre a carga q4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre cargas elétricas colocadas em um sistema de coordenadas no espaço. Nosso objetivo é calcular a força total que age sobre a carga devido às outras cargas , e . Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos ajuda a determinar a força entre duas cargas elétricas. Precisaremos considerar as posições das cargas no espaço e calcular as componentes das forças nas direções dos vetores unitários , e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Coulomb. Ela diz que a força F = ke q Qr^2 r entre duas cargas e separadas por uma distância é dada por:
onde:
  • é a constante de Coulomb ( ),
  • é o vetor unitário na direção da força.
Vamos calcular a força que cada uma das cargas , e exerce sobre .

Passo 3

Vamos começar calculando a força exercida por r14 = r4 - r1 = (3.5 - 3, , 2.3 - (-2), , -2.7 - 5) = (0.5, , 4.3, , -7.7) , m sobre r14 = raiz0.5^2 + 4.3^2 + (-7.7)^2 approx raiz0.25 + 18.49 + 59.29 approx raiz77.03 approx 8.775 , m . Primeiro, determinamos o vetor posição de r14 = r14r14 = ( 0.58.775, , 4.38.775, , -7.78.775 ) approx (0.057, , 0.490, , -0.877) em relação a F14 = ke q1 q4r14^2 r14 = 8.988 times 10^9 (10^-6)(-3 times 10^-6)(8.775)^2 r14 :
F14 approx 8.988 times 10^9 -3 times 10^-1277.03 r14 approx -3.495 times 10^-4 r14 approx (-0.02, , -0.17, , 0.31) , N
Agora, calculamos a magnitude dessa distância:
O vetor unitário na direção de é:
Aplicando a Lei de Coulomb:
Calculando os valores numéricos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a força exercida por r24 = r4 - r2 = (3.5 - 0, , 2.3 - 0.1, , -2.7 - 4) = (3.5, , 2.2, , -6.7) , m sobre r24 = raiz3.5^2 + 2.2^2 + (-6.7)^2 approx raiz12.25 + 4.84 + 44.89 approx raiz61.98 approx 7.874 , m . Primeiro, determinamos o vetor posição de r24 = r24r24 = ( 3.57.874, , 2.27.874, , -6.77.874 ) approx (0.445, , 0.280, , -0.852) em relação a F24 = ke q2 q4r24^2 r24 = 8.988 times 10^9 (2 times 10^-6)(-3 times 10^-6)(7.874)^2 r24 :
F24 approx 8.988 times 10^9 -6 times 10^-1261.98 r24 approx -8.696 times 10^-4 r24 approx (-0.39, , -0.24, , 0.74) , N
Calculamos a magnitude dessa distância:
O vetor unitário na direção de é:
Aplicando a Lei de Coulomb:
Calculando os valores numéricos:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a força exercida por r34 = r4 - r3 = (3.5 - (-1), , 2.3 - 2, , -2.7 - 0) = (4.5, , 0.3, , -2.7) , m sobre r34 = raiz4.5^2 + 0.3^2 + (-2.7)^2 approx raiz20.25 + 0.09 + 7.29 approx raiz27.63 approx 5.256 , m . Primeiro, determinamos o vetor posição de r34 = r34r34 = ( 4.55.256, , 0.35.256, , -2.75.256 ) approx (0.857, , 0.057, , -0.514) em relação a F34 = ke q3 q4r34^2 r34 = 8.988 times 10^9 (3 times 10^-6)(-3 times 10^-6)(5.256)^2 r34 :
F34 approx 8.988 times 10^9 -9 times 10^-1227.63 r34 approx -2.933 times 10^-3 r34 approx (-2.51, , -0.17, , 1.50) , N
Calculamos a magnitude dessa distância:
O vetor unitário na direção de é:
Aplicando a Lei de Coulomb:
Calculando os valores numéricos:

Passo 6

Agora, para encontrar a força total que age sobre Ftotal = F14 + F24 + F34 approx (-0.02, , -0.17, , 0.31) + (-0.39, , -0.24, , 0.74) + (-2.51, , -0.17, , 1.50) , somamos as forças Ftotal approx (-0.02 - 0.39 - 2.51, , -0.17 - 0.24 - 0.17, , 0.31 + 0.74 + 1.50) approx (-2.92, , -0.58, , 2.55) , N , e :
Somando componente a componente:

Resposta

A força total que age sobre a carga Ftotal approx -2.92,i -0.58,j +2.55,k , N é aproximadamente:

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