Uma esfera dielétrica sólida de raio R possui densidade volumétrica de cargas dada por rho=Cr^2, em que C é uma constante. Calcule a carga total armazenada na esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera dielétrica sólida com raio e uma densidade de carga volumétrica dada por , onde é uma constante. Nosso objetivo é descobrir a carga total armazenada nessa esfera. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo integral aplicado à física, especificamente integrando a densidade de carga sobre todo o volume da esfera.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a carga total Q = integral rho , dV é obtida integrando a densidade de carga sobre o volume da esfera. A fórmula geral para isso é:
Aqui, representa um elemento infinitesimal de volume.

Passo 3

Como estamos lidando com uma esfera, o mais fácil é usar coordenadas esféricas para fazer essa integração. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume dV = 4pi r^2 dr é dado por:
Q = integral0^R rho cdot 4pi r^2 dr
Então, a integral para a carga total fica:

Passo 4

Substituímos a expressão da densidade de carga Q = integral0^R C r^2 cdot 4pi r^2 dr na integral:
Q = 4pi C integral0^R r^4 dr

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral0^R r^4 dr = [ r^55 ]0^R :
integral0^R r^4 dr = R^55 - 0^55
integral0^R r^4 dr = R^55

Passo 6

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão para Q = 4pi C cdot R^55 :
Q = 45 pi C R^5

Resposta

A carga total armazenada na esfera é:
Q = 45 pi C R^5

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