Uma esfera dielétrica sólida de raio
possui densidade volumétrica de cargas dada por
, em que
é uma constante. Calcule a carga total armazenada na esfera.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma esfera dielétrica sólida com raio
e uma densidade de carga volumétrica dada por
, onde
é uma constante. Nosso objetivo é descobrir a carga total armazenada nessa esfera. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo integral aplicado à física, especificamente integrando a densidade de carga sobre todo o volume da esfera.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a carga total
é obtida integrando a densidade de carga
sobre o volume da esfera. A fórmula geral para isso é:
Aqui,
representa um elemento infinitesimal de volume.
Passo 3
Como estamos lidando com uma esfera, o mais fácil é usar coordenadas esféricas para fazer essa integração. Em coordenadas esféricas, o elemento de volume
é dado por:
Então, a integral para a carga total fica:
Passo 4
Substituímos a expressão da densidade de carga
na integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral de volta na expressão para
:
Resposta
A carga total armazenada na esfera é: