Explain how a general vector function can be expressed in terms of a scalar potential function and a vector potential function.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você perguntou como podemos escrever uma função vetorial geral usando uma função potencial escalar e uma função potencial vetorial. Isso está dentro do estudo de Cálculo Vetorial, especialmente no tópico de decomposição de campos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são funções potenciais e como elas se relacionam com funções vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre função potencial escalar. Imagine que você tem um campo vetorial, como o campo elétrico. Se esse campo é “sem rotação” (ou seja, sua rotacional é zero), podemos encontrar uma função escalar, chamada de potencial escalar, cuja gradiente nos dá o campo vetorial. Matemáticamente, isso é escrito como:
Aqui,
é o campo vetorial e
é a função potencial escalar.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a função potencial vetorial. Se o campo vetorial é “sem divergência” (ou seja, sua divergente é zero), podemos expressá-lo como o rotacional de uma função vetorial. Essa função vetorial é chamada de potencial vetorial. Matematicamente, temos:
Onde
é a função potencial vetorial.
Passo 4
Então, se temos uma função vetorial geral, que pode ter tanto componentes sem rotação quanto sem divergência, podemos combinar essas duas ideias. Isso significa que qualquer campo vetorial
pode ser escrito como a soma do gradiente de uma função potencial escalar e do rotacional de uma função potencial vetorial:
Essa é a decomposição de Helmholtz, que nos permite expressar uma função vetorial geral em termos de funções potenciais.
Resposta
Assim, uma função vetorial geral pode ser expressa como:
onde
é a função potencial escalar e
é a função potencial vetorial.