Find the component of the vector A=-ay z+az y at the point P1(0,-2,3), which is directed toward the point P2(raiz3,-60^circ, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar a componente do vetor no ponto , direcionada para o ponto . Vamos usar conceitos de vetores e projeção para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o vetor no ponto . A expressão dada é , onde e são os vetores unitários nas direções y e z, respectivamente. No ponto , os valores de e são -2 e 3.

Passo 3

Vamos substituir os valores de A = -ay cdot 3 + az cdot (-2) = -3,ay - 2,az e no vetor :
Então, o vetor no ponto é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a direção do vetor que vai de para . Mas antes, vamos converter as coordenadas de para o sistema cartesiano. Parece que está dado em coordenadas cilíndricas , onde , e .

Passo 5

Convertendo x = r cdot cos(theta) = raiz3 cdot cos(-60^circ) = raiz3 cdot 12 = raiz32 para coordenadas cartesianas:
y = r cdot sin(theta) = raiz3 cdot sin(-60^circ) = raiz3 cdot (-raiz32) = -32
z = 1
Então, em coordenadas cartesianas é .

Passo 6

O próximo passo é encontrar o vetor que vai de D = (raiz32 - 0, -32 - (-2), 1 - 3) = (raiz32, 12, -2) para . Subtraímos as coordenadas de de :

Passo 7

Agora, vamos encontrar a magnitude do vetor |D| = raiz(raiz32)^2 + (12)^2 + (-2)^2 = raiz34 + 14 + 4 = raiz5 para obter a direção unitária:
u = D|D| = (raiz32raiz5, 12raiz5, -2raiz5)
A direção unitária é então:

Passo 8

Para encontrar a componente de A cdot u = (0, -3, -2) cdot (raiz32raiz5, 12raiz5, -2raiz5) = 0 cdot raiz32raiz5 + (-3) cdot 12raiz5 + (-2) cdot -2raiz5 na direção de A cdot u = 0 - 32raiz5 + 4raiz5 = 52raiz5 = raiz52 , usamos o produto escalar:

Resposta

A componente do vetor no ponto direcionada para é .

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