Find the component of the vector at the point , which is directed toward the point .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrar a componente do vetor no ponto , direcionada para o ponto . Vamos usar conceitos de vetores e projeção para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o vetor no ponto . A expressão dada é , onde e são os vetores unitários nas direções y e z, respectivamente. No ponto , os valores de e são -2 e 3.
Passo 3
Vamos substituir os valores de e no vetor :
Então, o vetor no ponto é .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a direção do vetor que vai de para . Mas antes, vamos converter as coordenadas de para o sistema cartesiano. Parece que está dado em coordenadas cilíndricas , onde , e .
Passo 5
Convertendo para coordenadas cartesianas:
Então, em coordenadas cartesianas é .
Passo 6
O próximo passo é encontrar o vetor que vai de para . Subtraímos as coordenadas de de :
Passo 7
Agora, vamos encontrar a magnitude do vetor para obter a direção unitária:
A direção unitária é então:
Passo 8
Para encontrar a componente de A cdot u = (0, -3, -2) cdot (raiz32raiz5, 12raiz5, -2raiz5) = 0 cdot raiz32raiz5 + (-3) cdot 12raiz5 + (-2) cdot -2raiz5 na direção de A cdot u = 0 - 32raiz5 + 4raiz5 = 52raiz5 = raiz52 , usamos o produto escalar:
Resposta
A componente do vetor no ponto direcionada para é .