Uma esfera de ferro oca flutua quase completamente submersa em água. O diâmetro externo é 60,0 cm e a densidade do ferro é 7,87 g / cm^3. Encontre o diâmetro interno.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera oca de ferro que está quase totalmente submersa na água. O diâmetro externo dessa esfera é de 60 cm e a densidade do ferro é 7,87 g/cm³. Nosso objetivo é descobrir qual é o diâmetro interno dessa esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a esfera estar submersa. Quando um objeto flutua na água, ele desloca uma quantidade de água cujo peso é igual ao peso do objeto. Isso é o princípio de Arquimedes.
No nosso caso, como a esfera está quase totalmente submersa, podemos considerar que quase todo o volume externo da esfera está submerso. Isso vai nos ajudar a relacionar as densidades e os volumes envolvidos.

Passo 3

Vamos chamar:
  • de diâmetro externo da esfera (60 cm).
  • de diâmetro interno que queremos encontrar.
  • de raio externo ( cm).
  • de raio interno ( ).
A densidade do ferro ( ) é 7,87 g/cm³ e a densidade da água ( á) é aproximadamente 1 g/cm³.

Passo 4

O volume de uma esfera é dado pela fórmula:
V = 43 pi R^3
Então, o volume total externo da esfera é:
Vexterno = 43 pi R^3
E o volume interno (o espaço vazio) é:
Vinterno = 43 pi r^3
O volume do material de ferro da esfera é a diferença entre esses dois volumes:
Vferro = Vexterno - Vinterno = 43 pi (R^3 - r^3)

Passo 5

Segundo o princípio de Arquimedes, o peso da água deslocada pela esfera é igual ao peso da esfera. Matemáticamente:
Vexterno cdot rhoágua = Vferro cdot rhoferro á
Substituindo os volumes:
43 pi R^3 cdot rhoágua = 43 pi (R^3 - r^3) cdot rhoferro á
Podemos simplificar R^3 cdot rhoágua = (R^3 - r^3) cdot rhoferro dos dois lados:
á

Passo 6

Vamos resolver para R^3 cdot rhoágua = R^3 cdot rhoferro - r^3 cdot rhoferro :
r^3 cdot rhoferro = R^3 cdot rhoferro - R^3 cdot rhoágua á
Levantando r^3 cdot rhoferro = R^3 (rhoferro - rhoágua) para o outro lado e agrupando termos:
r^3 = R^3 ( rhoferro - rhoáguarhoferro ) á
Fatorando :
á
Agora, isolamos :
á

Passo 7

Vamos substituir os valores conhecidos:
R = 30 cm
rhoferro = 7,87 g/cm³ ³
rhoágua = 1 g/cm³ á³
Substituindo na equação:
r^3 = 30^3 ( 7,87 - 17,87 )
Calculando os valores:
r^3 = 27000 ( 6,877,87 ) approx 27000 times 0,873 = 23571 cm³ ³

Passo 8

Agora, precisamos encontrar r = raiz[3]23571 approx 28,6 cm :
d = 2r approx 2 times 28,6 = 57,2 cm
Então, o diâmetro interno é:

Resposta

O diâmetro interno da esfera é aproximadamente 57,2 cm.

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