Uma esfera de ferro oca flutua quase completamente submersa em água. O diâmetro externo é
e a densidade do ferro é 7,87
. Encontre o diâmetro interno.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera oca de ferro que está quase totalmente submersa na água. O diâmetro externo dessa esfera é de 60 cm e a densidade do ferro é 7,87 g/cm³. Nosso objetivo é descobrir qual é o diâmetro interno dessa esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a esfera estar submersa. Quando um objeto flutua na água, ele desloca uma quantidade de água cujo peso é igual ao peso do objeto. Isso é o princípio de Arquimedes.
No nosso caso, como a esfera está quase totalmente submersa, podemos considerar que quase todo o volume externo da esfera está submerso. Isso vai nos ajudar a relacionar as densidades e os volumes envolvidos.
Passo 3
Vamos chamar:
-
de diâmetro externo da esfera (60 cm). -
de diâmetro interno que queremos encontrar. -
de raio externo ( cm). -
de raio interno ( ).
A densidade do ferro (
) é 7,87 g/cm³ e a densidade da água (
) é aproximadamente 1 g/cm³.
Passo 4
O volume de uma esfera é dado pela fórmula:
Então, o volume total externo da esfera é:
E o volume interno (o espaço vazio) é:
O volume do material de ferro da esfera é a diferença entre esses dois volumes:
Passo 5
Segundo o princípio de Arquimedes, o peso da água deslocada pela esfera é igual ao peso da esfera. Matemáticamente:
Substituindo os volumes:
Podemos simplificar
dos dois lados:
Passo 6
Vamos resolver para
:
Levantando
para o outro lado e agrupando termos:
Fatorando
:
Agora, isolamos
:
Passo 7
Vamos substituir os valores conhecidos:
Substituindo na equação:
Calculando os valores:
Passo 8
Agora, precisamos encontrar
:
Então, o diâmetro interno
é:
Resposta
O diâmetro interno da esfera é aproximadamente 57,2 cm.