Uma esfera de ferro oca flutua quase completamente submersa em água. O diâmetro externo é e a densidade do ferro é 7,87 . Encontre o diâmetro interno.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera oca de ferro que está quase totalmente submersa na água. O diâmetro externo dessa esfera é de 60 cm e a densidade do ferro é 7,87 g/cm³. Nosso objetivo é descobrir qual é o diâmetro interno dessa esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a esfera estar submersa. Quando um objeto flutua na água, ele desloca uma quantidade de água cujo peso é igual ao peso do objeto. Isso é o princípio de Arquimedes.
No nosso caso, como a esfera está quase totalmente submersa, podemos considerar que quase todo o volume externo da esfera está submerso. Isso vai nos ajudar a relacionar as densidades e os volumes envolvidos.

Passo 3

Vamos chamar:
  • de diâmetro externo da esfera (60 cm).
  • de diâmetro interno que queremos encontrar.
  • de raio externo ( cm).
  • de raio interno ( ).
A densidade do ferro ( ) é 7,87 g/cm³ e a densidade da água ( á) é aproximadamente 1 g/cm³.

Passo 4

O volume de uma esfera é dado pela fórmula:
Então, o volume total externo da esfera é:
E o volume interno (o espaço vazio) é:
O volume do material de ferro da esfera é a diferença entre esses dois volumes:

Passo 5

Segundo o princípio de Arquimedes, o peso da água deslocada pela esfera é igual ao peso da esfera. Matemáticamente:
á
Substituindo os volumes:
á
Podemos simplificar dos dois lados:
á

Passo 6

Vamos resolver para :
á
Levantando para o outro lado e agrupando termos:
á
Fatorando :
á
Agora, isolamos :
á

Passo 7

Vamos substituir os valores conhecidos:
³
á³
Substituindo na equação:
Calculando os valores:
³

Passo 8

Agora, precisamos encontrar :
Então, o diâmetro interno é:

Resposta

O diâmetro interno da esfera é aproximadamente 57,2 cm.

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