A esfera homogênea de 50 kg e superfície lisa repousa no vão formado pelo plano inclinado e pela parede vertical. (a) Determine as forças de contato das paredes, considerando que theta é igual a 30^circ. (b) Qual é o valor de theta para que a força aplicada na esfera pela parede vertical seja 2/3 da força aplicada pelo plano inclinado? Resposta: (a) 566 N e 283 N ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera homogênea de 50 kg que está descansando no vão formado por um plano inclinado e uma parede vertical. A gente vai trabalhar com a física de forças de contato e equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar entender como as forças atuam na esfera e usar um pouco de trigonometria para decompor essas forças nos eixos horizontal e vertical.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na esfera:
  1. Peso ( ): A força da gravidade puxando a esfera para baixo, que é , onde e ².
  2. Força de contato com o plano inclinado ( ): A força perpendicular ao plano inclinado.
  3. Força de contato com a parede vertical ( ): A força horizontal exercida pela parede na esfera.
Como a superfície é lisa, não há atrito, então só temos essas forças atuando.

Passo 3

Vamos calcular o peso da esfera:
P = m cdot g = 50,kg times 9,8,m/s² = 490,N ²

Passo 4

Agora, precisamos decompor as forças no plano inclinado. O ângulo do plano é Pparal<=l = P cdot sintheta = 490,N times sin30° = 490,N times 0,5 = 245,N .
As componentes do peso são:
  • Paralela ao plano ( Pperp = P cdot costheta = 490,N times cos30° approx 490,N times 0,866 = 424,3,N ):
  • Perpendicular ao plano ( ):

Passo 5

Como a esfera está em equilíbrio, as forças paralelas e perpendiculares se equilibram. Então:
  • Na direção perpendicular ao plano:
Np = Pperp approx 424,3,N
  • Na direção horizontal, a força da parede Nv = Pparal<=l = 245,N equilibra a componente paralela do peso:

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor de Nv = Pparal<=l = P cdot sintheta para que a força aplicada pela parede vertical seja Np = P cdot costheta da força aplicada pelo plano inclinado, ou seja, P cdot sintheta = 23 cdot P cdot costheta .
Sabemos que:
sintheta = 23 cdot costheta
tantheta = 23
Então:
theta = arctan(23) approx 33,69°

Resposta

(a) As forças de contato são aproximadamente na parede vertical e no plano inclinado.
(b) O ângulo que satisfaz a condição é aproximadamente .

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