A esfera homogênea de 50 kg e superfície lisa repousa no vão formado pelo plano inclinado e pela parede vertical. (a) Determine as forças de contato das paredes, considerando que
é igual a
. (b) Qual é o valor de
para que a força aplicada na esfera pela parede vertical seja 2/3 da força aplicada pelo plano inclinado? Resposta: (a) 566 N e 283 N ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera homogênea de 50 kg que está descansando no vão formado por um plano inclinado e uma parede vertical. A gente vai trabalhar com a física de forças de contato e equilíbrio. Para resolver isso, vamos precisar entender como as forças atuam na esfera e usar um pouco de trigonometria para decompor essas forças nos eixos horizontal e vertical.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na esfera:
- Peso (
): A força da gravidade puxando a esfera para baixo, que é , onde e . - Força de contato com o plano inclinado (
): A força perpendicular ao plano inclinado. - Força de contato com a parede vertical (
): A força horizontal exercida pela parede na esfera.
Como a superfície é lisa, não há atrito, então só temos essas forças atuando.
Passo 3
Vamos calcular o peso da esfera:
Passo 4
Agora, precisamos decompor as forças no plano inclinado. O ângulo do plano é
.
As componentes do peso são:
- Paralela ao plano (
):
- Perpendicular ao plano (
):
Passo 5
Como a esfera está em equilíbrio, as forças paralelas e perpendiculares se equilibram. Então:
- Na direção perpendicular ao plano:
- Na direção horizontal, a força da parede
equilibra a componente paralela do peso:
Passo 6
Agora, vamos calcular o valor de
para que a força aplicada pela parede vertical seja
da força aplicada pelo plano inclinado, ou seja,
.
Sabemos que:
Então:
Resposta
(a) As forças de contato são aproximadamente
na parede vertical e
no plano inclinado.
(b) O ângulo
que satisfaz a condição é aproximadamente
.