1. Um bloco de 5,00 kg se move a 12,0 m/s em uma superfície horizontal sem atrito que termina abruptamente em uma rampa inclinada a 40,0° acima da horizontal (Fig. 8-42). (a) Qual é a distância máxima que o bloco sobe na rampa? (b) Qual é a velocidade do bloco quando ele retorna à base da rampa?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar para resolver. Temos um bloco de 5,00 kg que se move a 12,0 m/s em uma superfície horizontal sem atrito e, de repente, encontra uma rampa inclinada a 40,0° acima da horizontal. Precisamos calcular:
a) A distância máxima que o bloco sobe na rampa.
b) A velocidade do bloco quando ele retorna à base da rampa.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia cinética e energia potencial gravitacional, além de leis de conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância máxima que o bloco sobe na rampa. Quando o bloco sobe, sua energia cinética é convertida em energia potencial gravitacional até que ele pare momentaneamente no ponto mais alto.
A energia cinética inicial ( Ek = 12 m v^2 ) do bloco é dada por:
onde:
  • (massa do bloco)
  • (velocidade inicial)

Passo 3

Calculando a energia cinética inicial:
Ek = 12 times 5,00 times (12,0)^2 = 12 times 5,00 times 144 = 360 , J

Passo 4

A energia potencial gravitacional ( Ep = m g h ) no ponto mais alto é dada por:
360 = 5,00 times 9,81 times h
onde:
  • (aceleração da gravidade)
  • é a altura que o bloco vai subir
Como no ponto mais alto:

Passo 5

Resolvendo para h = 3605,00 times 9,81 approx 36049,05 approx 7,34 , m :

Passo 6

Mas a questão pede a distância na rampa, não apenas a altura. Sabemos que a rampa está inclinada a 40,0°, então podemos usar trigonometria para encontrar a distância sin(theta) = hd :
onde .

Passo 7

Resolvendo para d = hsin(40,0°) = 7,34sin(40,0°) approx 7,340,6428 approx 11,42 , m :

Passo 8

Agora, para a parte b, queremos saber a velocidade do bloco quando ele retorna à base da rampa. Como não há atrito, a energia é conservada. Quando o bloco desce, a energia potencial gravitacional é convertida novamente em energia cinética.
Assim, a energia cinética no ponto mais baixo será igual à energia potencial no ponto mais alto:
Ek = Ep
Como já calculamos , a velocidade na base será a mesma da velocidade inicial, mas vamos calcular para confirmar.

Passo 9

Usando a fórmula da energia cinética novamente:
Ek = 12 m v^2 Rightarrow 360 = 12 times 5,00 times v^2
Resolvendo para v^2 = 360 times 25,00 = 7205,00 = 144 Rightarrow v = raiz144 = 12,0 , m/s :

Resposta

a) A distância máxima que o bloco sobe na rampa é aproximadamente 11,42 metros.
b) A velocidade do bloco quando ele retorna à base da rampa é 12,0 m/s.

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