Uma esfera homogênea de raio e massa rola sem deslizar com velocidade sobre um piso horizontal. Ela encontra um degrau de altura e sobe por cima do degrau. Assuma que a esfera fique sempre em contato com a quina do degrau até o momento em que o centro da esfera fica diretamente acima da quina. Mostre que, para que a esfera consiga subir o degrau a velocidade deve satisfazer:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera uniforme, com raio e massa , que está rolando sem deslizar sobre um piso horizontal com velocidade inicial . Ela encontra um degrau de altura (sendo menor que ) e tenta subir por cima desse degrau. A pergunta é descobrir qual deve ser a velocidade inicial para que a esfera consiga subir o degrau, seguindo uma condição específica que envolve a aceleração da gravidade , a altura do degrau e o raio da esfera . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especialmente relacionados a rotação sem deslizamento e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, como a esfera está rolando sem deslizar, existe uma relação direta entre a velocidade linear do centro da esfera ( ) e a velocidade angular ( ). Essa relação é dada por:
Isso significa que a esfera está rolando de maneira pura, sem perder contato com o chão devido ao deslizamento.

Passo 3

Ao encontrar o degrau, a esfera precisa subir até que o centro dela esteja exatamente acima da quina do degrau. Nesse ponto, a esfera forma um triângulo onde a hipotenusa é o raio , e a altura é . Podemos usar trigonometria para encontrar o ângulo que a esfera forma com o degrau:
Isso nos ajudará a determinar a posição da esfera no momento crítico em que ela está prestes a perder contato com o degrau.

Passo 4

Agora, vamos considerar a conservação de energia. A energia inicial da esfera é composta pela energia cinética de translação e de rotação. Conforme a esfera sobe o degrau, parte dessa energia é convertida em energia potencial gravitacional. A energia cinética inicial é:
Onde é o momento de inércia da esfera. Para uma esfera homogênea, o momento de inércia é:
Substituindo na equação de energia cinética, temos:

Passo 5

Ao subir o degrau, a esfera ganha energia potencial :
Para que a esfera consiga subir o degrau, a energia cinética inicial deve ser pelo menos igual à energia potencial adquirida:
Simplificando a expressão:
No entanto, precisamos considerar a correção devido à altura do degrau em relação ao raio da esfera, que ajusta a velocidade necessária. Portanto, a condição final é:

Resposta

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