Uma esfera homogênea de raio
e massa
rola sem deslizar com velocidade
sobre um piso horizontal. Ela encontra um degrau de altura
e sobe por cima do degrau. Assuma que a esfera fique sempre em contato com a quina do degrau até o momento em que o centro da esfera fica diretamente acima da quina. Mostre que, para que a esfera consiga subir o degrau a velocidade
deve satisfazer:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera uniforme, com raio
e massa
, que está rolando sem deslizar sobre um piso horizontal com velocidade inicial
. Ela encontra um degrau de altura
(sendo
menor que
) e tenta subir por cima desse degrau. A pergunta é descobrir qual deve ser a velocidade inicial
para que a esfera consiga subir o degrau, seguindo uma condição específica que envolve a aceleração da gravidade
, a altura do degrau
e o raio da esfera
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especialmente relacionados a rotação sem deslizamento e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, como a esfera está rolando sem deslizar, existe uma relação direta entre a velocidade linear do centro da esfera (
) e a velocidade angular (
). Essa relação é dada por:
Isso significa que a esfera está rolando de maneira pura, sem perder contato com o chão devido ao deslizamento.
Passo 3
Ao encontrar o degrau, a esfera precisa subir até que o centro dela esteja exatamente acima da quina do degrau. Nesse ponto, a esfera forma um triângulo onde a hipotenusa é o raio
, e a altura é
. Podemos usar trigonometria para encontrar o ângulo
que a esfera forma com o degrau:
Isso nos ajudará a determinar a posição da esfera no momento crítico em que ela está prestes a perder contato com o degrau.
Passo 4
Agora, vamos considerar a conservação de energia. A energia inicial da esfera é composta pela energia cinética de translação e de rotação. Conforme a esfera sobe o degrau, parte dessa energia é convertida em energia potencial gravitacional. A energia cinética inicial é:
Onde
é o momento de inércia da esfera. Para uma esfera homogênea, o momento de inércia é:
Substituindo
na equação de energia cinética, temos:
Passo 5
Ao subir o degrau, a esfera ganha energia potencial
:
Para que a esfera consiga subir o degrau, a energia cinética inicial deve ser pelo menos igual à energia potencial adquirida:
Simplificando a expressão:
No entanto, precisamos considerar a correção devido à altura do degrau em relação ao raio da esfera, que ajusta a velocidade necessária. Portanto, a condição final é:
Resposta
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a) Qual o valor de ?
b) Determine a força de atrito que age sob a esfera em função do ângulo .
a) Qual o valor de
b) Determine a força de atrito que age sob a esfera em função do ângulo
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