Uma esfera sólida de raio r é colocada no fundo de um hemisfério esférico de raio R. Quando a esfera sofre uma pequena perturbação, ela oscila em torno do fundo. O movimento oscilatório é descrito pela equação diferencial no formato
d^2 thetad t^2+omega^2 theta=0
onde theta é o ângulo entre a vertical e a linha que liga o centro do hemisfério ao centro da esfera.
a) Qual o valor de omega^2 ?
b) Determine a força de atrito que age sob a esfera em função do ângulo theta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera sólida de raio no fundo de um hemisfério de raio . Quando a esfera é perturbada um pouquinho, ela começa a oscilar. A gente vai trabalhar com movimentos oscilatórios e equações diferenciais simples para descobrir duas coisas: o valor de e a força de atrito que atua na esfera. Vamos precisar entender um pouco de dinâmica de movimentos oscilatórios e forças envolvidas nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a) e encontrar o valor de d^2 thetad t^2 + omega^2 theta = 0 . A equação diferencial dada é:
Essa é a equação de movimento de um pêndulo simples, onde é a frequência angular das oscilações. Para encontrar , precisamos relacionar as forças que atuam na esfera quando ela se desloca um pouco do equilíbrio.

Passo 3

Vamos considerar as forças atuando na esfera. Quando ela está em equilíbrio, apenas a força peso F = mg sin theta e a força normal do hemisfério se anulam. Quando a esfera é deslocada por um ângulo , surge uma componente da força peso que tenta trazer a esfera de volta ao equilíbrio. Essa força restauradora é responsável pelas oscilações.
A força restauradora pode ser expressa como:
Como estamos lidando com pequenas oscilações, podemos usar a aproximação (em radianos).

Passo 4

Para relacionar essa força ao movimento angular, usamos o momento de inércia I = 25 m r^2 da esfera e a relação torque alpha = d^2 thetad t^2 , onde é a aceleração angular.
A esfera está rolando sem deslizamento, então o momento de inércia de uma esfera sólida é:
A aceleração angular é igual à segunda derivada de em relação ao tempo:

Passo 5

O torque tau = F cdot (R - r) = mg theta (R - r) devido à força restauradora é:
mg theta (R - r) = 25 m r^2 d^2 thetad t^2
Aplicando a relação :

Passo 6

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por g theta (R - r) = 25 r^2 d^2 thetad t^2 :
d^2 thetad t^2 + ( 5g(R - r)2 r^2 ) theta = 0
Reorganizando para deixar a equação na forma da equação diferencial dada:
omega^2 = 5g(R - r)2 r^2
Comparando com a equação original , identificamos que:

Resposta

O valor de omega^2 = 5g(R - r)2 r^2 é:

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