Uma esfera sólida de raio
é colocada no fundo de um hemisfério esférico de raio
. Quando a esfera sofre uma pequena perturbação, ela oscila em torno do fundo. O movimento oscilatório é descrito pela equação diferencial no formato
onde
é o ângulo entre a vertical e a linha que liga o centro do hemisfério ao centro da esfera.
a) Qual o valor de
?
b) Determine a força de atrito que age sob a esfera em função do ângulo
.
a) Qual o valor de
b) Determine a força de atrito que age sob a esfera em função do ângulo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma esfera sólida de raio
no fundo de um hemisfério de raio
. Quando a esfera é perturbada um pouquinho, ela começa a oscilar. A gente vai trabalhar com movimentos oscilatórios e equações diferenciais simples para descobrir duas coisas: o valor de
e a força de atrito que atua na esfera. Vamos precisar entender um pouco de dinâmica de movimentos oscilatórios e forças envolvidas nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a) e encontrar o valor de
. A equação diferencial dada é:
Essa é a equação de movimento de um pêndulo simples, onde
é a frequência angular das oscilações. Para encontrar
, precisamos relacionar as forças que atuam na esfera quando ela se desloca um pouco do equilíbrio.
Passo 3
Vamos considerar as forças atuando na esfera. Quando ela está em equilíbrio, apenas a força peso
e a força normal do hemisfério se anulam. Quando a esfera é deslocada por um ângulo
, surge uma componente da força peso que tenta trazer a esfera de volta ao equilíbrio. Essa força restauradora é responsável pelas oscilações.
A força restauradora
pode ser expressa como:
Como estamos lidando com pequenas oscilações, podemos usar a aproximação
(em radianos).
Passo 4
Para relacionar essa força ao movimento angular, usamos o momento de inércia
da esfera e a relação torque
, onde
é a aceleração angular.
A esfera está rolando sem deslizamento, então o momento de inércia de uma esfera sólida é:
A aceleração angular
é igual à segunda derivada de
em relação ao tempo:
Passo 5
O torque
devido à força restauradora é:
Aplicando a relação
:
Passo 6
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Reorganizando para deixar a equação na forma da equação diferencial dada:
Comparando com a equação original
, identificamos que:
Resposta
O valor de
é:
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