Uma esfera isolante oca, de raio interno a e raio externo b, tem densidade volumétrica de carga rho constante. A carga total Q é distribuída uniformemente por todo o volume. Calcule o campo elétrico para: a) r > b , b) a < r < b e c) r < a .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma esfera oca isolante com raio interno e raio externo , e a densidade de carga volumétrica é constante. A carga total está distribuída uniformemente por todo o volume dessa esfera. Precisamos calcular o campo elétrico em três regiões diferentes:
a) Para ,
b) Para ,
c) Para .
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada à carga total dentro dessa superfície. A Lei de Gauss é muito útil aqui devido à simetria esférica do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que é dada por:
ointsuperfície E cdot dA = Qinternovarepsilon0 í
Onde:
  • é o campo elétrico,
  • é um elemento de área na superfície fechada,
  • é a carga total dentro da superfície,
  • é a constante de permissividade do vácuo.
Devido à simetria esférica, o campo elétrico terá apenas componente radial e será constante em magnitude em uma superfície esférica de raio .

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico para cada uma das três regiões.

a) Para E cdot 4pi r^2 = Qvarepsilon0

Aqui, estamos fora da esfera completa, então toda a carga E = Q4pi varepsilon0 r^2 está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:
Qinterno = rho cdot Volume
Resolvendo para V = 43pi r^3 :
Vcargas = 43pi (r^3 - a^3)
Isso é igual ao campo elétrico de uma carga pontual Qinterno = rho cdot 43pi (r^3 - a^3) no centro da esfera.

b) Para E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43pi (r^3 - a^3)varepsilon0

Neste caso, estamos dentro da esfera oca, mas ainda dentro da parte carregada (entre E = rho (r^3 - a^3)3 varepsilon0 r^2 = rho3 varepsilon0 ( r - a^3r^2 ) e E cdot 4pi r^2 = 0 ). Precisamos calcular a carga E = 0 que está dentro de um raio .
A densidade de carga é a carga por unidade de volume, então:
O volume de uma esfera de raio é:
Mas como a carga está distribuída entre e , precisamos subtrair o volume interno que não contém carga:
Então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:

c) Para

Aqui, estamos dentro da cavidade oca, onde não há carga. Portanto, a carga interna .
Aplicando a Lei de Gauss:
Logo, o campo elétrico:

Resposta

a) Para E = Q4pi varepsilon0 r^2 :
E = rho3 varepsilon0 ( r - a^3r^2 )
b) Para E = 0 :
c) Para :

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