Uma esfera isolante oca, de raio interno a e raio externo b, tem densidade volumétrica de carga
constante. A carga total Q é distribuída uniformemente por todo o volume. Calcule o campo elétrico para: a) r > b , b) a < r < b e c) r < a .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está nos pedindo. Temos uma esfera oca isolante com raio interno
e raio externo
, e a densidade de carga volumétrica
é constante. A carga total
está distribuída uniformemente por todo o volume dessa esfera. Precisamos calcular o campo elétrico
em três regiões diferentes:
a) Para ,
b) Para ,
c) Para .
a) Para
b) Para
c) Para
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada à carga total dentro dessa superfície. A Lei de Gauss é muito útil aqui devido à simetria esférica do problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que é dada por:
Onde:
-
é o campo elétrico, -
é um elemento de área na superfície fechada, -
é a carga total dentro da superfície, -
é a constante de permissividade do vácuo.
Devido à simetria esférica, o campo elétrico
terá apenas componente radial e será constante em magnitude em uma superfície esférica de raio
.
Passo 3
Vamos calcular o campo elétrico para cada uma das três regiões.
a) Para
Aqui, estamos fora da esfera completa, então toda a carga
está dentro da superfície gaussiana. Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Isso é igual ao campo elétrico de uma carga pontual
no centro da esfera.
b) Para
Neste caso, estamos dentro da esfera oca, mas ainda dentro da parte carregada (entre
e
). Precisamos calcular a carga
que está dentro de um raio
.
A densidade de carga
é a carga por unidade de volume, então:
O volume de uma esfera de raio
é:
Mas como a carga está distribuída entre
e
, precisamos subtrair o volume interno que não contém carga:
Então:
Aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando:
c) Para
Aqui, estamos dentro da cavidade oca, onde não há carga. Portanto, a carga interna
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Logo, o campo elétrico:
Resposta
a) Para
:
b) Para
:
c) Para
: