Uma esfera
de 2 kg parte do repouso na posição
e colide com um bloco
de
que está em repouso. Após o impacto,
se imobiliza e
se desloca de
até atingir o repouso. Determine (a) o coeficiente de restituição entre a esfera e o bloco e
o coeficiente de atrito cinemático entre o bloco e o solo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera A com massa de 2 kg que parte do repouso numa posição inclinada de 60 graus. Ela colide com um bloco B de 2 kg também em repouso. Após a colisão, a esfera A para de se mover e o bloco B desliza por 1,5 metros até parar. Precisamos descobrir duas coisas:
a) O coeficiente de restituição entre a esfera e o bloco.
b) O coeficiente de atrito cinemático entre o bloco e o solo.
b) O coeficiente de atrito cinemático entre o bloco e o solo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de momentum (quantidade de movimento) e energia envolvidos nas colisões, além das leis do atrito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a colisão entre a esfera A e o bloco B. A colisão envolve a transferência de quantidade de movimento. A quantidade de movimento ($ p $) é dada por:
Onde:
- $ m $ é a massa
- $ v $ é a velocidade
Antes da colisão, apenas a esfera A estava se movendo, após a colisão, a esfera A para e o bloco B começa a se mover. Então, podemos aplicar a lei da conservação da quantidade de movimento.
Passo 3
Vamos chamar:
- $ m_A = 2 , kg $ (massa da esfera A)
- $ m_B = 2 , kg $ (massa do bloco B)
- $ v_{A_i} $ = velocidade inicial de A (que vamos descobrir)
- $ v_{B_f} $ = velocidade final do bloco B após a colisão
Como a esfera A parte do repouso na posição inclinada, vamos calcular a velocidade dela no momento da colisão usando a conservação de energia. A energia potencial inicial se transforma em energia cinética.
A altura $ h $ da posição inclinada pode ser encontrada usando a relação:
Mas como não temos o comprimento $ L $, podemos ignorar esse detalhe e focar na quantidade de movimento.
Passo 4
Aplicando a conservação da quantidade de movimento:
Como $ m_A = m_B $, simplifica para:
Mas precisamos encontrar o coeficiente de restituição. Para isso, usamos a definição de coeficiente de restituição ($ e $):
Sabemos que após a colisão, $ v_{A_f} = 0 $ e $ v_{B_i} = 0 $, então:
Passo 5
Para achar $ v_{B_f}
F_{at} $) é dada por:
Onde:
- $ \mu $ é o coeficiente de atrito cinemático
- $ N $ é a força normal, que no caso é igual ao peso do bloco $ m_B \cdot g $
A aceleração ($ a $) causada pelo atrito é:
Usando a equação do movimento para parar o bloco:
Como o bloco para, $ v_f = 0 $, e $ d = 1,5 , m $, então:
Resolvendo para $ v_{B_f} $:
Passo 6
Agora, substituímos $ v_{B_f} $ na equação do coeficiente de restituição:
Mas ainda precisamos relacionar $ v_{A_i} $ e $ \mu $. Para isso, vamos usar que a esfera A está descendo a uma rampa de 60 graus. A velocidade $ v_{A_i} $ pode ser encontrada a partir da conservação da energia:
Onde $ h = L \cdot \sin(60^\circ) $. Mas sem o comprimento $ L $, vamos considerar que a velocidade $ v_{A_i} $ é tal que se transfere totalmente para o bloco.
Passo 7
Assumindo que toda a energia da esfera A se transfere para o bloco B, e sabendo que $ m_A = m_B $, temos $ v_{A_i} = v_{B_f} $. Então:
Mas isso não faz sentido física, então precisamos reconsiderar. Vamos voltar e considerar que a velocidade inicial da esfera A vem da descida da rampa.
A energia potencial da esfera A:
Convertendo para energia cinética:
Então:
Substituindo na equação do coeficiente de restituição:
Simplificando:
Sem mais informações sobre $ L $, não conseguimos finalizar a parte (a). Então, vamos focar na parte (b).
Passo 8
Para encontrar o coeficiente de atrito cinemático $ \mu $, usamos a equação que relaciona a distância percorrida pelo bloco até parar:
Rearranjando para $ \mu $:
Como ainda não temos $ v_{B_f} $, precisamos relacionar com a energia transferida na colisão. Infelizmente, sem a altura da rampa ou mais informações, não conseguimos resolver numericamente.
Resposta
Parece que faltam informações adicionais, como a altura da rampa ou o comprimento $ L $, para calcular numericamente os coeficientes solicitados. Com os dados fornecidos, conseguimos estabelecer as relações teóricas, mas não é possível determinar valores específicos para (a) o coeficiente de restituição e (b) o coeficiente de atrito cinemático.