Uma esfera A de 2 kg parte do repouso na posição thetaA=60^circ e colide com um bloco B de 2,0 kg que está em repouso. Após o impacto, A se imobiliza e B se desloca de 1,5 m até atingir o repouso. Determine (a) o coeficiente de restituição entre a esfera e o bloco e (b) o coeficiente de atrito cinemático entre o bloco e o solo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera A com massa de 2 kg que parte do repouso numa posição inclinada de 60 graus. Ela colide com um bloco B de 2 kg também em repouso. Após a colisão, a esfera A para de se mover e o bloco B desliza por 1,5 metros até parar. Precisamos descobrir duas coisas:
a) O coeficiente de restituição entre a esfera e o bloco.
b) O coeficiente de atrito cinemático entre o bloco e o solo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de momentum (quantidade de movimento) e energia envolvidos nas colisões, além das leis do atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a colisão entre a esfera A e o bloco B. A colisão envolve a transferência de quantidade de movimento. A quantidade de movimento ($ p $) é dada por:
p
Onde:
  • $ m $ é a massa
  • $ v $ é a velocidade
Antes da colisão, apenas a esfera A estava se movendo, após a colisão, a esfera A para e o bloco B começa a se mover. Então, podemos aplicar a lei da conservação da quantidade de movimento.

Passo 3

Vamos chamar:
  • $ m_A = 2 , kg $ (massa da esfera A)
  • $ m_B = 2 , kg $ (massa do bloco B)
  • $ v_{A_i} $ = velocidade inicial de A (que vamos descobrir)
  • $ v_{B_f} $ = velocidade final do bloco B após a colisão
Como a esfera A parte do repouso na posição inclinada, vamos calcular a velocidade dela no momento da colisão usando a conservação de energia. A energia potencial inicial se transforma em energia cinética.
A altura $ h $ da posição inclinada pode ser encontrada usando a relação:
mA = 2 , kg
Mas como não temos o comprimento $ L $, podemos ignorar esse detalhe e focar na quantidade de movimento.

Passo 4

Aplicando a conservação da quantidade de movimento:
mA cdot vAi = mB cdot vBf
Como $ m_A = m_B $, simplifica para:
mA = mB
Mas precisamos encontrar o coeficiente de restituição. Para isso, usamos a definição de coeficiente de restituição ($ e $):
vAi = vBf
Sabemos que após a colisão, $ v_{A_f} = 0 $ e $ v_{B_i} = 0 $, então:
e

Passo 5

Para achar $ v_{B_f} vBf ééç F_{at} $) é dada por:
Fat
Onde:
  • $ \mu $ é o coeficiente de atrito cinemático
  • $ N $ é a força normal, que no caso é igual ao peso do bloco $ m_B \cdot g $
A aceleração ($ a $) causada pelo atrito é:
Fat = mu cdot N
Usando a equação do movimento para parar o bloco:
mu
Como o bloco para, $ v_f = 0 $, e $ d = 1,5 , m $, então:
N
Resolvendo para $ v_{B_f} $:
mB cdot g

Passo 6

Agora, substituímos $ v_{B_f} $ na equação do coeficiente de restituição:
vBf
Mas ainda precisamos relacionar $ v_{A_i} $ e $ \mu $. Para isso, vamos usar que a esfera A está descendo a uma rampa de 60 graus. A velocidade $ v_{A_i} $ pode ser encontrada a partir da conservação da energia:
e = raiz2 cdot mu cdot g cdot dvAi
Onde $ h = L \cdot \sin(60^\circ) $. Mas sem o comprimento $ L $, vamos considerar que a velocidade $ v_{A_i} $ é tal que se transfere totalmente para o bloco.

Passo 7

Assumindo que toda a energia da esfera A se transfere para o bloco B, e sabendo que $ m_A = m_B $, temos $ v_{A_i} = v_{B_f} $. Então:
mA = mB
Mas isso não faz sentido física, então precisamos reconsiderar. Vamos voltar e considerar que a velocidade inicial da esfera A vem da descida da rampa.
A energia potencial da esfera A:
vAi = vBf
Convertendo para energia cinética:
e = vBfvAi = 1
Então:
Ep = mA cdot g cdot h = mA cdot g cdot L cdot sin(60^circ)
Substituindo na equação do coeficiente de restituição:
Ep = 12 mA cdot vAi^2
Simplificando:
vAi = raiz2 cdot g cdot L cdot sin(60^circ)
Sem mais informações sobre $ L $, não conseguimos finalizar a parte (a). Então, vamos focar na parte (b).

Passo 8

Para encontrar o coeficiente de atrito cinemático $ \mu $, usamos a equação que relaciona a distância percorrida pelo bloco até parar:
mu
Rearranjando para $ \mu $:
vBf^2 = 2 cdot mu cdot g cdot d
Como ainda não temos $ v_{B_f} $, precisamos relacionar com a energia transferida na colisão. Infelizmente, sem a altura da rampa ou mais informações, não conseguimos resolver numericamente.

Resposta

Parece que faltam informações adicionais, como a altura da rampa ou o comprimento $ L $, para calcular numericamente os coeficientes solicitados. Com os dados fornecidos, conseguimos estabelecer as relações teóricas, mas não é possível determinar valores específicos para (a) o coeficiente de restituição e (b) o coeficiente de atrito cinemático.

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