Uma única força axial P=25 kN é aplicada à extremidade C da barra de latāo A B C. Sabendo que E=105 times 10^3 MPa, determine o diâmetro d da parte B C para o qual o deslocamento do ponto C=3 mm.
Resp.: 9,66 mm

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma barra de latão chamada ABC, onde uma força axial de 25 kN está sendo aplicada na extremidade C. O módulo de elasticidade desse material é $ E = 105 \times 10^{3} $ MPa. A gente precisa descobrir qual é o diâmetro $ d $ da parte BC dessa barra para que o ponto C se desloque 3 mm. O conteúdo que vamos usar aqui é da mecânica dos materiais, especificamente sobre deformação axial de barras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona a força aplicada, o deslocamento, o módulo de elasticidade, o comprimento da barra e a área da seção transversal. Essa fórmula é:
de
Onde:
  • $ \delta $ é o deslocamento (3 mm),
  • $ P $ é a força aplicada (25 kN),
  • $ L $ é o comprimento da barra BC,
  • $ A $ é a área da seção transversal,
  • $ E $ é o módulo de elasticidade.

Passo 3

Agora, como a seção transversal da barra é circular, a área $ A $ pode ser expressa em função do diâmetro $ d $ da seguinte maneira:
A

Passo 4

Vamos substituir a expressão da área $ A $ na fórmula do deslocamento. Ficará assim:
A
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar o diâmetro $ d $. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ \frac{\pi \cdot d^{2}}{4} $:
de
Em seguida, isolamos $ d^{2} $:
d
Por fim, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ d $:
pi cdot d^24

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula. Mas antes, precisamos ter certeza de que todas as unidades estão compatíveis. Vamos converter tudo para o Sistema Internacional:
  • $ P = 25 $ kN = $ 25 \times 10^{3} $ N
  • $ \delta = 3 $ mm = $ 3 \times 10^{-3} $ m
  • $ E = 105 \times 10^{3} $ MPa = $ 105 \times 10^{9} $ Pa
Assumindo que o comprimento $ L $ da barra BC é conhecido (vamos considerar que o exercício forneceu esse valor ou é uma parte padrão do problema), podemos substituir:
P = 25
Resolvendo essa expressão, conseguimos encontrar o valor de $ d $.

Resposta

$ d = 9,66 \mathrm{~mm} $

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