The product c T of a tensor by a scalar has been used in the text without formal definition. Remedy this defect by supplying a suitable definition and proving that this product has the expected algebraic properties.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre multiplicar um tensor $ \mathbf{T} $ por um número (escalar) $ c $. Até agora, usamos essa ideia no texto, mas não definimos direitinho. Então, vamos definir como fazer isso direitinho e mostrar que essa multiplicação se comporta como esperamos na álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que significa multiplicar um tensor por um escalar. Um tensor $ \mathbf{T} $ pode ser pensado como uma coleção de componentes. Quando multiplicamos $ \mathbf{T} $ por um escalar $ c $, a gente simplesmente multiplica cada componente de $ \mathbf{T} $ por $ c $.
Matematicamente, se $ \mathbf{T} = (T_{ij…k}) $, então:
T

Passo 3

Agora, vamos verificar algumas propriedades algébricas dessa multiplicação para garantir que tudo esteja fazendo sentido.
Propriedade 1: Distribuição do escalar sobre a soma de tensores
Queremos mostrar que:
c (T + S) = c T + c S
Explicação: Soma de tensores significa somar componente a componente. Multiplicando por $ c $, cada componente da soma é multiplicada por $ c $, o que é igual a multiplicar cada tensor individualmente por $ c $ e depois somar.
Propriedade 2: Associatividade da multiplicação escalar
Queremos mostrar que:
c
Explicação: Somando dois escalares $ c $ e $ d $ antes de multiplicar pelo tensor é o mesmo que multiplicar o tensor por cada escalar separadamente e depois somar os resultados.
Propriedade 3: Multiplicação associativa dos escalares
Queremos mostrar que:
c
Explicação: Multiplicar primeiro por $ d $ e depois por $ c $ é o mesmo que multiplicar os escalares $ c $ e $ d $ juntos e depois multiplicar pelo tensor.

Resposta

Então, definimos $ c \mathbf{T} $ multiplicando cada componente de $ \mathbf{T} $ por $ c $ e mostramos que essa operação respeita as propriedades de distribuição e associatividade esperadas na álgebra. Dessa forma, a multiplicação de um tensor por um escalar está bem definida e comporta-se conforme o esperado.

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