A mass m is fastened by a spring (spring constant k ) to a point of support which moves back and forth along the x-axis in simple harmonic motion at frequency omega, amplitude a. Assuming the mass moves only along the x-axis, set up and solve the equation of motion in a coordinate system whose origin is at the point of support.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma massa $ m $ presa a uma mola com constante elástica $ k $. Esse sistema está ligado a um ponto de apoio que se move de um lado para o outro ao longo do eixo $ x $ com movimento harmônico simples, ou seja, com frequência $ \omega $ e amplitude $ a $. Nosso objetivo é montar e resolver a equação do movimento desse sistema, considerando que o ponto de apoio é a origem do nosso sistema de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de física de movimentos harmônicos e de como aplicar as leis de Newton nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as posições. Seja $ x(t) $ a posição da massa em relação ao ponto de apoio. Como o ponto de apoio também está se movendo, precisamos levar isso em conta. A posição do ponto de apoio pode ser descrita por:
x(t)
Mas como estamos medindo $ x(t) $ a partir do ponto de apoio, a posição total da massa em relação a um referencial fixo seria:
xapoio(t) = a cos(omega t)

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
F = m cdot ddotX(t)
A força que a mola exerce na massa é proporcional ao deslocamento da mola, então:
Fmola = -k X(t)
Substituindo $ X(t) = x(t) + a \cos(\omega t) $, temos:
X(t) = x(t) + a cos(omega t)

Passo 4

Igualando as forças, temos:
m cdot ddotX(t) = -k (x(t) + a cos(omega t))
Substituindo $ X(t) = x(t) + a \cos(\omega t) $ e derivando duas vezes em relação ao tempo:
X(t) = x(t) + a cos(omega t)
Então:
ddotX(t) = ddotx(t) - a omega^2 cos(omega t)

Passo 5

Vamos reorganizar essa equação para isolarmos os termos de $ x(t) $:
x(t)
Colocando os termos com $ x(t) $ de um lado e os outros do outro:
m ddotx(t) - m a omega^2 cos(omega t) = -k x(t) - k a cos(omega t)
Fatorando $ a \cos(\omega t) $:
x(t)

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial linear não homogênea:
m ddotx(t) + k x(t) = a (m omega^2 - k) cos(omega t)
Podemos simplificar dividindo tudo por $ m $:
m
Definindo $ \omega_0^2 = \frac{k}{m} $:
ddotx(t) + km x(t) = a (m omega^2 - k)m cos(omega t)

Passo 7

Para resolver essa equação, vamos procurar uma solução particular. Como o lado direito é uma função cosseno, tentamos uma solução da forma:
xp(t) = C cos(omega t)
Derivando duas vezes:
ddotxp(t) = -C omega^2 cos(omega t)
Substituindo na equação diferencial:
(-C omega^2) cos(omega t) + omega0^2 C cos(omega t) = a (omega^2 - omega0^2) cos(omega t)
Factorando $ \cos(\omega t) $:
cos(omega t)
Resolvendo para $ C $:
C (omega0^2 - omega^2) = a (omega^2 - omega0^2)

Passo 8

Então, a solução particular é:
xp(t) = -a cos(omega t)
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular. A solução homogênea é:
xh(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t)
Portanto, a solução geral é:
x(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t) - a cos(omega t)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A posição da massa em relação ao ponto de apoio é dada por:
x(t) = A cos(raizkm, t) + B sin(raizkm, t) - a cos(omega t)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema.

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