A mass
is fastened by a spring (spring constant
) to a point of support which moves back and forth along the
-axis in simple harmonic motion at frequency
, amplitude
. Assuming the mass moves only along the
-axis, set up and solve the equation of motion in a coordinate system whose origin is at the point of support.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma massa $ m $ presa a uma mola com constante elástica $ k $. Esse sistema está ligado a um ponto de apoio que se move de um lado para o outro ao longo do eixo $ x $ com movimento harmônico simples, ou seja, com frequência $ \omega $ e amplitude $ a $. Nosso objetivo é montar e resolver a equação do movimento desse sistema, considerando que o ponto de apoio é a origem do nosso sistema de coordenadas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho de física de movimentos harmônicos e de como aplicar as leis de Newton nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as posições. Seja $ x(t) $ a posição da massa em relação ao ponto de apoio. Como o ponto de apoio também está se movendo, precisamos levar isso em conta. A posição do ponto de apoio pode ser descrita por:
Mas como estamos medindo $ x(t) $ a partir do ponto de apoio, a posição total da massa em relação a um referencial fixo seria:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
A força que a mola exerce na massa é proporcional ao deslocamento da mola, então:
Substituindo $ X(t) = x(t) + a \cos(\omega t) $, temos:
Passo 4
Igualando as forças, temos:
Substituindo $ X(t) = x(t) + a \cos(\omega t) $ e derivando duas vezes em relação ao tempo:
Então:
Passo 5
Vamos reorganizar essa equação para isolarmos os termos de $ x(t) $:
Colocando os termos com $ x(t) $ de um lado e os outros do outro:
Fatorando $ a \cos(\omega t) $:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial linear não homogênea:
Podemos simplificar dividindo tudo por $ m $:
Definindo $ \omega_0^2 = \frac{k}{m} $:
Passo 7
Para resolver essa equação, vamos procurar uma solução particular. Como o lado direito é uma função cosseno, tentamos uma solução da forma:
Derivando duas vezes:
Substituindo na equação diferencial:
Factorando $ \cos(\omega t) $:
Resolvendo para $ C $:
Passo 8
Então, a solução particular é:
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular. A solução homogênea é:
Portanto, a solução geral é:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A posição da massa em relação ao ponto de apoio é dada por:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema.