Uma esfera de massa m desliza sem atrito sobre um tobogâ tal como mostra a Figura. Ela parte do repouso de um ponto A (a auma altura h de uma referência arbitrária), passa pelo ponto B de altura mínima
6. igual a zero e começa a subir. (A) Determine a velocidade da esfera quando ela passa por B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera deslizando sem atrito por um tobogã, começando do repouso em um ponto A que está a uma altura . Queremos descobrir qual é a velocidade da esfera quando ela passa pelo ponto B, que é o ponto mais baixo do tobogã (altura zero). O conteúdo envolvido aqui é o de energia mecânica, especificamente energia potencial gravitacional e energia cinética. Vamos precisar entender como essas energias se transformam quando não há atrito atrapalhando.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre energia potencial gravitacional ( U = m cdot g cdot h ) e energia cinética ( K = 12 m v^2 ). A energia potencial é a energia que um objeto tem por estar em uma certa altura e é dada por:
onde:
  • é a massa da esfera,
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ),
  • é a altura.
A energia cinética é a energia do movimento e é dada por:
onde é a velocidade do objeto.
Como não há atrito, a energia mecânica total da esfera se conserva. Isso significa que a energia potencial no ponto A será totalmente transformada em energia cinética no ponto B.

Passo 3

Vamos equilibrar as energias no ponto A e no ponto B:
No ponto A:
UA = m cdot g cdot h
KA = 0 (porque a esfera parte do repouso)
Portanto, a energia total no ponto A é:
EA = UA + KA = m cdot g cdot h
No ponto B:
UB = m cdot g cdot 0 = 0
KB = 12 m v^2
Então, a energia total no ponto B é:
EB = UB + KB = 12 m v^2
Como a energia se conserva:
EA = EB
Portanto:
m cdot g cdot h = 12 m v^2
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por g cdot h = 12 v^2 :
v^2 = 2 g h
Agora, resolvendo para v = raiz2 g h :

Resposta

A velocidade da esfera quando passa por B é .

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