O vetor
é dado por
enquanto o vetor
tem módulo 6 e faz um ângulo de
relação ao semieixo
positivo. Determine o módulo e o ângulo em relação ao semieixo
positivo para os vetores:
(b)
. [R.:
.]
(b)
Passo 1
Então, vamos resolver um exercício de vetores! A gente tem dois vetores,
e
. O vetor
é dado diretamente pelas componentes
, enquanto o vetor
tem um módulo de 6 e faz um ângulo de
com o semieixo
positivo. Nosso objetivo aqui é encontrar o módulo e o ângulo em relação ao semieixo
positivo para o vetor
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de decomposição de vetores, subtração de vetores e cálculo de magnitude e ângulo de um vetor resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor o vetor
em suas componentes
e
. Como sabemos o módulo e o ângulo que ele faz com o eixo
, podemos usar as funções trigonométricas seno e cosseno para encontrar essas componentes.
A componente
de
é dada por:
E a componente
de
é:
Passo 3
Vamos calcular os valores numéricos das componentes de
:
Então, podemos escrever o vetor
como:
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor
subtraindo as componentes correspondentes:
Então, o vetor
é aproximadamente:
Passo 5
Para encontrar o módulo de
, usamos a fórmula da magnitude de um vetor:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o ângulo que
faz com o semieixo
positivo. Usamos a função tangente inversa:
Como
é negativo e
é positivo, o vetor está no segundo quadrante. A calculadora nos dá:
Mas, como está no segundo quadrante, adicionamos
:
Resposta
O módulo do vetor
é aproximadamente
unidades e o ângulo que ele forma com o semieixo
positivo é de aproximadamente
.