O vetor a é dado por
a=3 imath+5 jmath
enquanto o vetor b tem módulo 6 e faz um ângulo de -25^circ em relação ao semieixo x positivo. Determine o módulo e o ângulo em relação ao semieixo x positivo para os vetores:
(b) d=a-b. [R.: d=7,92, theta=107,93^circ.]

Passo 1

Então, vamos resolver um exercício de vetores! A gente tem dois vetores, e . O vetor é dado diretamente pelas componentes , enquanto o vetor tem um módulo de 6 e faz um ângulo de com o semieixo positivo. Nosso objetivo aqui é encontrar o módulo e o ângulo em relação ao semieixo positivo para o vetor . Para isso, vamos precisar usar conceitos de decomposição de vetores, subtração de vetores e cálculo de magnitude e ângulo de um vetor resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor o vetor bx = |b| cdot cos(theta) = 6 cdot cos(-25^circ) em suas componentes by = |b| cdot sin(theta) = 6 cdot sin(-25^circ) e . Como sabemos o módulo e o ângulo que ele faz com o eixo , podemos usar as funções trigonométricas seno e cosseno para encontrar essas componentes.
A componente de é dada por:
E a componente de é:

Passo 3

Vamos calcular os valores numéricos das componentes de bx = 6 cdot cos(-25^circ) approx 6 cdot 0,9063 approx 5,438 :
by = 6 cdot sin(-25^circ) approx 6 cdot (-0,4226) approx -2,536
b approx 5,438 imath - 2,536 jmath
Então, podemos escrever o vetor como:

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor dx = ax - bx = 3 - 5,438 approx -2,438 subtraindo as componentes correspondentes:
dy = ay - by = 5 - (-2,536) = 5 + 2,536 = 7,536
d approx -2,438 imath + 7,536 jmath
Então, o vetor é aproximadamente:

Passo 5

Para encontrar o módulo de |d| = raizdx^2 + dy^2 = raiz(-2,438)^2 + (7,536)^2 approx raiz5,945 + 56,798 approx raiz62,743 approx 7,92 , usamos a fórmula da magnitude de um vetor:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ângulo que theta = arctan(dydx) = arctan(7,536-2,438) faz com o semieixo theta approx arctan(-3,09) approx -72,07^circ positivo. Usamos a função tangente inversa:
theta approx 180^circ - 72,07^circ = 107,93^circ
Como é negativo e é positivo, o vetor está no segundo quadrante. A calculadora nos dá:
Mas, como está no segundo quadrante, adicionamos :

Resposta

O módulo do vetor é aproximadamente unidades e o ângulo que ele forma com o semieixo positivo é de aproximadamente .

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