Uma esfera de material dielétrico homogêneo com constante dielétrica , de raio , está uniformemente carregada com densidade volumétrica de carga .
(a) Calcule o vetor campo elétrico dentro e fora da esfera;
(b) Ache a diferença de potencial entre o centro e a superfície da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma esfera de material dielétrico homogêneo com constante dielétrica , raio , e que está carregada uniformemente com densidade volumétrica de carga . Nosso objetivo é calcular o campo elétrico tanto dentro quanto fora da esfera e, depois, encontrar a diferença de potencial entre o centro e a superfície da esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera. Como a carga está distribuída uniformemente, podemos usar a Lei de Gauss para uma esfera de raio dentro da esfera carregada ( ). A Lei de Gauss nos diz que:
Onde é a carga encerrada pela superfície gaussiana. Como a densidade de carga é , a carga dentro de um raio é:
Substituindo na Lei de Gauss:
Resolvendo para :

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera ( ). Novamente, usamos a Lei de Gauss, mas agora a carga encerrada é a carga total da esfera:
Aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo :
Resolvendo para :

Passo 4

Agora que temos o campo elétrico nos dois casos, vamos para a parte (b) e calcular a diferença de potencial entre o centro e a superfície da esfera. Sabemos que o potencial elétrico é dado pela integral do campo elétrico:
Dentro da esfera, substituímos pela expressão que encontramos:
Integrando:
Simplificando:
Como estamos interessados na diferença de potencial entre o centro e a superfície, consideramos o valor absoluto:

Resposta

(a) O campo elétrico dentro da esfera é e fora da esfera é .
(b) A diferença de potencial entre o centro e a superfície da esfera é .

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