Uma esfera de material dielétrico homogêneo com constante dielétrica
, de raio
, está uniformemente carregada com densidade volumétrica de carga
.
(a) Calcule o vetor campo elétrico
dentro e fora da esfera;
(b) Ache a diferença de potencial
entre o centro e a superfície da esfera.
(a) Calcule o vetor campo elétrico
(b) Ache a diferença de potencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma esfera de material dielétrico homogêneo com constante dielétrica
, raio
, e que está carregada uniformemente com densidade volumétrica de carga
. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico
tanto dentro quanto fora da esfera e, depois, encontrar a diferença de potencial
entre o centro e a superfície da esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera. Como a carga está distribuída uniformemente, podemos usar a Lei de Gauss para uma esfera de raio
dentro da esfera carregada (
). A Lei de Gauss nos diz que:
Onde
é a carga encerrada pela superfície gaussiana. Como a densidade de carga é
, a carga dentro de um raio
é:
Substituindo na Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera (
). Novamente, usamos a Lei de Gauss, mas agora a carga encerrada é a carga total da esfera:
Aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora que temos o campo elétrico nos dois casos, vamos para a parte (b) e calcular a diferença de potencial
entre o centro e a superfície da esfera. Sabemos que o potencial elétrico é dado pela integral do campo elétrico:
Dentro da esfera, substituímos
pela expressão que encontramos:
Integrando:
Simplificando:
Como estamos interessados na diferença de potencial entre o centro e a superfície, consideramos o valor absoluto:
Resposta
(a) O campo elétrico
dentro da esfera é
e fora da esfera é
.
(b) A diferença de potencial
entre o centro e a superfície da esfera é
.