Uma esfera de material dielétrico homogêneo com constante dielétrica
, de raio
, está uniformemente carregada com densidade volumétrica de carga
.
(a) Calcule o vetor campo elétrico
dentro e fora da esfera;
(b) Ache a diferença de potencial
entre o centro e a superfície da esfera.
(a) Calcule o vetor campo elétrico
(b) Ache a diferença de potencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma esfera de material dielétrico homogêneo com constante dielétrica
, raio
, e que está carregada uniformemente com densidade volumétrica de carga
. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico
tanto dentro quanto fora da esfera e, depois, encontrar a diferença de potencial
entre o centro e a superfície da esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera. Como a carga está distribuída uniformemente, podemos usar a Lei de Gauss para uma esfera de raio
dentro da esfera carregada (
). A Lei de Gauss nos diz que:
Onde
é a carga encerrada pela superfície gaussiana. Como a densidade de carga é
, a carga dentro de um raio
é:
Substituindo na Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera (
). Novamente, usamos a Lei de Gauss, mas agora a carga encerrada é a carga total da esfera:
Aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo
:
Resolvendo para
:
Passo 4
Agora que temos o campo elétrico nos dois casos, vamos para a parte (b) e calcular a diferença de potencial
entre o centro e a superfície da esfera. Sabemos que o potencial elétrico é dado pela integral do campo elétrico:
Dentro da esfera, substituímos
pela expressão que encontramos:
Integrando:
Simplificando:
Como estamos interessados na diferença de potencial entre o centro e a superfície, consideramos o valor absoluto:
Resposta
(a) O campo elétrico
dentro da esfera é
e fora da esfera é
.
(b) A diferença de potencial
entre o centro e a superfície da esfera é
.
Exercícios relacionados
O comprimento de onda
de uma transição eletrônica é dado pela relação de Rydberg:
onde
é a constante de Rydberg,
é o número quântico inicial e
é o número quântico final. Calcule os comprimentos de onda para as transições do
elétron nas órbitas e
, e
e
. Compare os resultados com os valores experimentais conhecidos da série de Balmer.
elétron nas órbitas
A luz de uma lâmpada de vapor de sódio, com frequência de
, incide sobre a superfície de um metal cuja função trabalho é 2.5 eV . Sabendo que a constante de Planck é
e a carga do elétron é
, determine:
© O potencial de corte necessário para impedir que os elétrons mais energéticos alcancem a placa coletora.
Dica: considere que
© O potencial de corte necessário para impedir que os elétrons mais energéticos alcancem a placa coletora.
Dica: considere que
Considere duas cascas esféras concêntricas com as seguintes condições de contorno,
Determine:
a) O potencial em .
b) O potencial em .
c) O potencial em .
a) O potencial em
b) O potencial em
c) O potencial em
Um capacitor esférico de raio interno
e raio externo
tem o espaço entre as placas totalmente preenchido por duas camadas concêntricas de dielétricos diferentes superpostas, uma de espessura
e constante dielétrica
, e outra de espessura
e constante dielétrica
. Calcule a capacitância desse capacitor.