Uma esfera de material dielétrico homogêneo com constante dielétrica kappa, de raio a, está uniformemente carregada com densidade volumétrica de carga rho.
(a) Calcule o vetor campo elétrico E dentro e fora da esfera;
(b) Ache a diferença de potencial V entre o centro e a superfície da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma esfera de material dielétrico homogêneo com constante dielétrica kappa, raio a, e que está carregada uniformemente com densidade volumétrica de carga rho. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico E tanto dentro quanto fora da esfera e, depois, encontrar a diferença de potencial V entre o centro e a superfície da esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss e a relação entre campo elétrico e potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o campo elétrico dentro da esfera. Como a carga está distribuída uniformemente, podemos usar a Lei de Gauss para uma esfera de raio r dentro da esfera carregada ( r < a). A Lei de Gauss nos diz que:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 kappa
Onde Qenc é a carga encerrada pela superfície gaussiana. Como a densidade de carga é rho, a carga dentro de um raio r é:
Qenc = rho cdot 43 pi r^3
Substituindo na Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43 pi r^3varepsilon0 kappa
Resolvendo para E:
E = rho r3 varepsilon0 kappa

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da esfera ( r >= a). Novamente, usamos a Lei de Gauss, mas agora a carga encerrada é a carga total da esfera:
Qtotal = rho cdot 43 pi a^3
Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Qtotalvarepsilon0 kappa
Substituindo Qtotal:
E cdot 4pi r^2 = rho cdot 43 pi a^3varepsilon0 kappa
Resolvendo para E:
E = rho a^33 varepsilon0 kappa r^2

Passo 4

Agora que temos o campo elétrico nos dois casos, vamos para a parte (b) e calcular a diferença de potencial V entre o centro e a superfície da esfera. Sabemos que o potencial elétrico é dado pela integral do campo elétrico:
V = -integral0^a E cdot dr
Dentro da esfera, substituímos E pela expressão que encontramos:
V = -integral0^a rho r3 varepsilon0 kappa dr
Integrando:
V = -rho3 varepsilon0 kappa cdot a^22
Simplificando:
V = -rho a^26 varepsilon0 kappa
Como estamos interessados na diferença de potencial entre o centro e a superfície, consideramos o valor absoluto:
V = rho a^26 varepsilon0 kappa

Resposta

(a) O campo elétrico E dentro da esfera é E = dfracrho r3,varepsilon0,kappa,r e fora da esfera é E = dfracrho a^33,varepsilon0,kappa,r^2,r.
(b) A diferença de potencial V entre o centro e a superfície da esfera é V = dfracrho a^26,varepsilon0,kappa.

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