Um capacitor esférico de raio interno a e raio externo b tem o espaço entre as placas totalmente preenchido por duas camadas concêntricas de dielétricos diferentes superpostas, uma de espessura c^llcorner a e constante dielétrica kappa1, e outra de espessura b^llcorner c e constante dielétrica kappa2. Calcule a capacitância desse capacitor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um capacitor esférico. A gente vai precisar entender o que é capacitância, como ela funciona em capacitores esféricos e como os dielétricos influenciam nisso. Basicamente, vamos calcular a capacitância desse capacitor com duas camadas de materiais diferentes entre as esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância C = QV de um capacitor é dada pela fórmula:
onde é a carga e é a diferença de potencial entre as placas.

Passo 3

No caso de um capacitor esférico, a fórmula da capacitância sem dielétricos é:
C = 4pivarepsilon0 abb - a
onde é o raio interno, é o raio externo, e é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Agora, como temos dielétricos, precisamos ajustar a fórmula para cada camada. Quando há um dielétrico, a capacitância é multiplicada pela constante dielétrica . Como temos duas camadas, vamos tratar cada uma separadamente.

Passo 5

A primeira camada tem espessura 1C = 1C1 + 1C2 e constante dielétrica . A segunda camada tem espessura e constante dielétrica . Vamos usar a ideia de capacitores em série, onde a capacitância total é a soma dos inversos das capacitâncias individuais:

Passo 6

Calculando C1 = 4pikappa1varepsilon0 ab1b1 - a para a primeira camada:
onde .

Passo 7

Calculando C2 = 4pikappa2varepsilon0 b1bb - b1 para a segunda camada:
Aqui, é o raio após a primeira camada.

Passo 8

Agora, substituímos 1C = 14pikappa1varepsilon0 ab1b1 - a + 14pikappa2varepsilon0 b1bb - b1 e na fórmula de capacitores em série:

Passo 9

Simplificando a expressão:
1C = (b1 - a)4pikappa1varepsilon0 ab1 + (b - b1)4pikappa2varepsilon0 b1b

Passo 10

Fatorando 1C = 14pivarepsilon0 b1 ( b1 - akappa1 a + b - b1kappa2 b ) :

Passo 11

Finalmente, invertendo para encontrar C = 4pivarepsilon0 b1b1 - akappa1 a + b - b1kappa2 b :

Resposta

Portanto, a capacitância do capacitor esférico com as duas camadas de dielétricos é:
C = 4pivarepsilon0 (a + c)ckappa1 a + b - a - ckappa2 b

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