Um capacitor esférico de raio interno e raio externo tem o espaço entre as placas totalmente preenchido por duas camadas concêntricas de dielétricos diferentes superpostas, uma de espessura e constante dielétrica , e outra de espessura e constante dielétrica . Calcule a capacitância desse capacitor.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um capacitor esférico. A gente vai precisar entender o que é capacitância, como ela funciona em capacitores esféricos e como os dielétricos influenciam nisso. Basicamente, vamos calcular a capacitância desse capacitor com duas camadas de materiais diferentes entre as esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor é dada pela fórmula:
onde é a carga e é a diferença de potencial entre as placas.

Passo 3

No caso de um capacitor esférico, a fórmula da capacitância sem dielétricos é:
onde é o raio interno, é o raio externo, e é a permissividade do vácuo.

Passo 4

Agora, como temos dielétricos, precisamos ajustar a fórmula para cada camada. Quando há um dielétrico, a capacitância é multiplicada pela constante dielétrica . Como temos duas camadas, vamos tratar cada uma separadamente.

Passo 5

A primeira camada tem espessura e constante dielétrica . A segunda camada tem espessura e constante dielétrica . Vamos usar a ideia de capacitores em série, onde a capacitância total é a soma dos inversos das capacitâncias individuais:

Passo 6

Calculando para a primeira camada:
onde .

Passo 7

Calculando para a segunda camada:
Aqui, é o raio após a primeira camada.

Passo 8

Agora, substituímos e na fórmula de capacitores em série:

Passo 9

Simplificando a expressão:

Passo 10

Fatorando :

Passo 11

Finalmente, invertendo para encontrar :

Resposta

Portanto, a capacitância do capacitor esférico com as duas camadas de dielétricos é:

Exercícios relacionados

Considere duas cascas esféras concêntricas com as seguintes condições de contorno,
Determine:
a) O potencial em .
b) O potencial em .
c) O potencial em .
Uma esfera de material dielétrico homogêneo com constante dielétrica , de raio , está uniformemente carregada com densidade volumétrica de carga .
(a) Calcule o vetor campo elétrico dentro e fora da esfera;
(b) Ache a diferença de potencial entre o centro e a superfície da esfera.
Considere uma associação de capacitores formada por três capacitores: e . Os capacitores estão associados da seguinte forma: e estão em série, e está associado em paralelo com os anteriores. Inicialmente, os capacitores estão descarregados. Um gerador de tensão é conectado à associação de capacitores, carregando-os até a tensão de equilíbrio. A partir dessa configuração, deseja-se calcular a energia total acumulada nos capacitores. Qual o valor aproximado da energia acumulada na associação de capacitores?
Uma garrafa de refrigerante tem 15 cm de altura. Joel sopra paralelamente à boca da garrafa depois de esvaziá-la. Qual é, aproximadamente, a frequência fundamental do som produzido pela garrafa?