Um capacitor esférico de raio interno
e raio externo
tem o espaço entre as placas totalmente preenchido por duas camadas concêntricas de dielétricos diferentes superpostas, uma de espessura
e constante dielétrica
, e outra de espessura
e constante dielétrica
. Calcule a capacitância desse capacitor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um capacitor esférico. A gente vai precisar entender o que é capacitância, como ela funciona em capacitores esféricos e como os dielétricos influenciam nisso. Basicamente, vamos calcular a capacitância desse capacitor com duas camadas de materiais diferentes entre as esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacitância
de um capacitor é dada pela fórmula:
onde
é a carga e
é a diferença de potencial entre as placas.
Passo 3
No caso de um capacitor esférico, a fórmula da capacitância sem dielétricos é:
onde
é o raio interno,
é o raio externo, e
é a permissividade do vácuo.
Passo 4
Agora, como temos dielétricos, precisamos ajustar a fórmula para cada camada. Quando há um dielétrico, a capacitância é multiplicada pela constante dielétrica
. Como temos duas camadas, vamos tratar cada uma separadamente.
Passo 5
A primeira camada tem espessura
e constante dielétrica
. A segunda camada tem espessura
e constante dielétrica
. Vamos usar a ideia de capacitores em série, onde a capacitância total
é a soma dos inversos das capacitâncias individuais:
Passo 6
Calculando
para a primeira camada:
onde
.
Passo 7
Calculando
para a segunda camada:
Aqui,
é o raio após a primeira camada.
Passo 8
Agora, substituímos
e
na fórmula de capacitores em série:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Passo 10
Fatorando
:
Passo 11
Finalmente, invertendo para encontrar
:
Resposta
Portanto, a capacitância do capacitor esférico com as duas camadas de dielétricos é: