Considere duas cascas esféras concêntricas com as seguintes condições de contorno,
Determine:
a) O potencial em
.
b) O potencial em
.
c) O potencial em
.
a) O potencial em
b) O potencial em
c) O potencial em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potenciais elétricos em cascas esféricas. A gente tem duas cascas concêntricas, ou seja, uma dentro da outra, com raios
e
. As condições de contorno são que o potencial na casca de raio
é
e na de raio
é
. Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a solução de potenciais para simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o potencial para
. Dentro da casca interna, não tem carga, então o potencial deve ser constante. Como o potencial na superfície
é
, o potencial para
também é
.
Passo 3
Agora, para
, temos que resolver a equação do potencial para uma região entre duas esferas carregadas. A solução geral para o potencial em uma região com simetria esférica é:
Precisamos determinar as constantes
e
usando as condições de contorno.
Passo 4
Aplicando as condições de contorno:
- Em
, :
- Em
, :
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Passo 5
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Resolvendo para
:
Passo 6
Substituindo
na primeira equação para encontrar
:
Passo 7
Então, o potencial para
fica:
Podemos simplificar escrevendo:
Passo 8
Finalmente, para
, fora das cascas, o potencial deve ser devido ao sistema total de cargas. Como as duas cascas têm potenciais opostos e simétricos, a carga total efetiva resulta em um dipolo, mas para simplificação, assumimos que o potencial tende a zero no infinito, então:
Resposta
a) Para
, o potencial é
.
b) Para
, o potencial é:
c) Para
, o potencial é
.