Considere duas cascas esféras concêntricas com as seguintes condições de contorno,
V(r) Rightarrowl V(a)=V0 V(b)=-V0
Determine:
a) O potencial em r.
b) O potencial em a <= r <= b.
c) O potencial em r>b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potenciais elétricos em cascas esféricas. A gente tem duas cascas concêntricas, ou seja, uma dentro da outra, com raios e . As condições de contorno são que o potencial na casca de raio é e na de raio é . Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a solução de potenciais para simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o potencial para . Dentro da casca interna, não tem carga, então o potencial deve ser constante. Como o potencial na superfície é , o potencial para também é .

Passo 3

Agora, para V(r) = Ar + B , temos que resolver a equação do potencial para uma região entre duas esferas carregadas. A solução geral para o potencial em uma região com simetria esférica é:
Precisamos determinar as constantes e usando as condições de contorno.

Passo 4

Aplicando as condições de contorno:
  1. Em V0 = Aa + B , - V0 = Ab + B :
  1. Em , :
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 5

Subtraindo a segunda equação da primeira:
V0 - (-V0) = Aa - Ab
2 V0 = A ( 1a - 1b )
Resolvendo para A = 2 V01a - 1b = 2 V0 a bb - a :

Passo 6

Substituindo V0 = 2 V0 a b(b - a) a + B na primeira equação para encontrar V0 = 2 V0 bb - a + B :
B = V0 - 2 V0 bb - a = V0 ( 1 - 2 bb - a ) = V0 ( (b - a) - 2 bb - a ) = V0 ( -b - ab - a ) = - V0 a + bb - a

Passo 7

Então, o potencial para V(r) = 2 V0 a b(b - a) r - V0 (a + b)b - a fica:
V(r) = 2 a b V0(b - a) r - (a + b) V0b - a
Podemos simplificar escrevendo:

Passo 8

Finalmente, para V(r) = 0 para r > b , fora das cascas, o potencial deve ser devido ao sistema total de cargas. Como as duas cascas têm potenciais opostos e simétricos, a carga total efetiva resulta em um dipolo, mas para simplificação, assumimos que o potencial tende a zero no infinito, então:

Resposta

a) Para V(r) = 2 a b V0(b - a) r - (a + b) V0b - a , o potencial é .
b) Para , o potencial é:
c) Para , o potencial é .

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