Considere duas cascas esféras concêntricas com as seguintes condições de contorno,
Determine:
a) O potencial em
.
b) O potencial em
.
c) O potencial em
.
a) O potencial em
b) O potencial em
c) O potencial em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potenciais elétricos em cascas esféricas. A gente tem duas cascas concêntricas, ou seja, uma dentro da outra, com raios
e
. As condições de contorno são que o potencial na casca de raio
é
e na de raio
é
. Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a solução de potenciais para simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o potencial para
. Dentro da casca interna, não tem carga, então o potencial deve ser constante. Como o potencial na superfície
é
, o potencial para
também é
.
Passo 3
Agora, para
, temos que resolver a equação do potencial para uma região entre duas esferas carregadas. A solução geral para o potencial em uma região com simetria esférica é:
Precisamos determinar as constantes
e
usando as condições de contorno.
Passo 4
Aplicando as condições de contorno:
- Em
, :
- Em
, :
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.
Passo 5
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Resolvendo para
:
Passo 6
Substituindo
na primeira equação para encontrar
:
Passo 7
Então, o potencial para
fica:
Podemos simplificar escrevendo:
Passo 8
Finalmente, para
, fora das cascas, o potencial deve ser devido ao sistema total de cargas. Como as duas cascas têm potenciais opostos e simétricos, a carga total efetiva resulta em um dipolo, mas para simplificação, assumimos que o potencial tende a zero no infinito, então:
Resposta
a) Para
, o potencial é
.
b) Para
, o potencial é:
c) Para
, o potencial é
.
Exercícios relacionados
Uma esfera de material dielétrico homogêneo com constante dielétrica
, de raio
, está uniformemente carregada com densidade volumétrica de carga
.
(a) Calcule o vetor campo elétrico dentro e fora da esfera;
(b) Ache a diferença de potencial entre o centro e a superfície da esfera.
(a) Calcule o vetor campo elétrico
(b) Ache a diferença de potencial
O comprimento de onda
de uma transição eletrônica é dado pela relação de Rydberg:
onde
é a constante de Rydberg,
é o número quântico inicial e
é o número quântico final. Calcule os comprimentos de onda para as transições do
elétron nas órbitas e
, e
e
. Compare os resultados com os valores experimentais conhecidos da série de Balmer.
elétron nas órbitas
Um capacitor esférico de raio interno
e raio externo
tem o espaço entre as placas totalmente preenchido por duas camadas concêntricas de dielétricos diferentes superpostas, uma de espessura
e constante dielétrica
, e outra de espessura
e constante dielétrica
. Calcule a capacitância desse capacitor.
Considere uma associação de capacitores formada por três capacitores:
e
. Os capacitores estão associados da seguinte forma:
e
estão em série, e
está associado em paralelo com os anteriores. Inicialmente, os capacitores estão descarregados. Um gerador de tensão
é conectado à associação de capacitores, carregando-os até a tensão de equilíbrio. A partir dessa configuração, deseja-se calcular a energia total acumulada nos capacitores. Qual o valor aproximado da energia acumulada
na associação de capacitores?