Considere duas cascas esféras concêntricas com as seguintes condições de contorno,
Determine:
a) O potencial em .
b) O potencial em .
c) O potencial em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potenciais elétricos em cascas esféricas. A gente tem duas cascas concêntricas, ou seja, uma dentro da outra, com raios e . As condições de contorno são que o potencial na casca de raio é e na de raio é . Vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a solução de potenciais para simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o potencial para . Dentro da casca interna, não tem carga, então o potencial deve ser constante. Como o potencial na superfície é , o potencial para também é .

Passo 3

Agora, para , temos que resolver a equação do potencial para uma região entre duas esferas carregadas. A solução geral para o potencial em uma região com simetria esférica é:
Precisamos determinar as constantes e usando as condições de contorno.

Passo 4

Aplicando as condições de contorno:
  1. Em , :
  1. Em , :
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas.

Passo 5

Subtraindo a segunda equação da primeira:
Resolvendo para :

Passo 6

Substituindo na primeira equação para encontrar :

Passo 7

Então, o potencial para fica:
Podemos simplificar escrevendo:

Passo 8

Finalmente, para , fora das cascas, o potencial deve ser devido ao sistema total de cargas. Como as duas cascas têm potenciais opostos e simétricos, a carga total efetiva resulta em um dipolo, mas para simplificação, assumimos que o potencial tende a zero no infinito, então:

Resposta

a) Para , o potencial é .
b) Para , o potencial é:
c) Para , o potencial é .

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