Uma esfera de naftaleno com
de diâmetro é colocada em contato com ar a
e 755 mmHg . Nesta temperatura a pressão de vapor do naftaleno é de 0,0363 mmHg. Escreva a equação diferencial que rege a sublimação da esfera de naftaleno. Apresente também as condições de contorno.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a sublimação de uma esfera de naftaleno. Sublimação é quando uma substância passa direto do estado sólido para o gasoso, sem ficar líquida. Aqui, uma esfera de naftaleno com diâmetro de 1,0 cm está em contato com o ar a 15°C e 755 mmHg, e a pressão de vapor do naftaleno nessa temperatura é de 0,0363 mmHg. Nosso objetivo é escrever a equação diferencial que descreve a sublimação dessa esfera e também apresentar as condições de contorno. Para isso, vamos precisar usar conceitos de difusão e leis de transporte de massa, especificamente a Lei de Fick.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Lei de Fick. Ela descreve como as moléculas se movem de regiões de alta concentração para regiões de baixa concentração. No caso da sublimação, as moléculas de naftaleno passam do sólido para o ar, criando um gradiente de concentração.
A taxa de transferência de massa por difusão é dada por:
Onde:
- $ C $ é a concentração de vapor,
- $ J $ é o fluxo de massa (quantidade de massa que passa por unidade de área por unidade de tempo),
- $ D $ é o coeficiente de difusão do naftaleno no ar.
Passo 3
Agora, vamos considerar a geometria do problema. Temos uma esfera, então é conveniente usar coordenadas esféricas. A concentração de vapor vai depender apenas da distância radial $ r $ a partir do centro da esfera.
A equação diferencial que descreve a difusão em coordenadas esféricas, assumindo simetria radial e estado estacionário (ou seja, a concentração não muda com o tempo), é:
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por $ r^2 $:
Integrando uma vez em relação a $ r $:
Dividindo ambos os lados por $ r^2 $:
Integramos novamente:
Onde $ B $ é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos determinar as constantes $ A $ e $ B $ usando as condições de contorno. As condições de contorno são informações sobre a concentração em pontos específicos.
-
Na superfície da esfera ($ r = R $), a concentração de vapor de naftaleno é igual à pressão de vapor, $ C® = C_s $.
-
No infinito ($ r \to \infty $), a concentração de vapor tende à concentração ambiente, $ C(\infty) = C_{\infty} $.
Passo 6
Aplicando a primeira condição de contorno:
E a segunda condição:
Então, temos:
Resolvendo para $ A $:
Passo 7
Substituindo $ A $ de volta na solução geral:
Essa é a concentração de vapor em função da distância radial $ r $.
Resposta
A equação diferencial que rege a sublimação da esfera de naftaleno é:
Com as condições de contorno:
- Na superfície da esfera ($ r = R $):
- No infinito ($ r \to \infty $):
Onde:
- $ R $ é o raio da esfera,
- $ C_s $ é a concentração na superfície,
- $ C_{\infty} $ é a concentração ambiente.