Mostre que a equação
nabla cdot nA+partial rhoApartial t=rA^prime prime prime
Pode ser escrita na forma partial rhoApartial t+v cdot nabla rhoA=DA B cdot nabla^2 rhoA+rA^prime prime prime

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que uma equação pode ser reescrita de outra forma. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial e física de transportes, especialmente relacionados à densidade e ao fluxo de partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que cada símbolo representa. A equação original é:
nabla cdot nA + partial rhoApartial t = rA^prime prime prime
Aqui, nA representa o fluxo de partículas do tipo A, rhoA é a densidade das partículas A, e rA^prime prime prime é a taxa de geração ou reação dessas partículas.

Passo 3

Sabemos que o fluxo nA pode ser dividido em duas partes: o movimento devido à velocidade média ( v) das partículas e o movimento devido à difusão, que depende do gradiente da densidade. Então, podemos escrever:
nA = v rhoA - DA B nabla rhoA
Aqui, DA B é o coeficiente de difusão.

Passo 4

Agora, vamos calcular a divergência desse fluxo:
nabla cdot nA = nabla cdot (v rhoA - DA B nabla rhoA)
Isso se expande para:
nabla cdot (v rhoA) - nabla cdot (DA B nabla rhoA)

Passo 5

Assumindo que a velocidade v e o coeficiente de difusão DA B são constantes, podemos simplificar:
v cdot nabla rhoA - DA B nabla^2 rhoA
Aqui, nabla^2 é o operador Laplaciano, que representa a segunda derivada espacial.

Passo 6

Substituímos essa expressão de volta na equação original:
v cdot nabla rhoA - DA B nabla^2 rhoA + partial rhoApartial t = rA^prime prime prime
Então, rearranjando os termos, temos:
partial rhoApartial t + v cdot nabla rhoA = DA B nabla^2 rhoA + rA^prime prime prime

Resposta

Portanto, a equação original pode ser reescrita como:
partial rhoApartial t + v cdot nabla rhoA = DA B nabla^2 rhoA + rA^prime prime prime

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