Um gás
passa sobre uma superfície catalítica onde ocorre a reação
. Nào existe reação no seio da fase fluida. O produto B difunde-se para fora da superfície através da fase A. Se a transferência de massa de A para a superfície catalítica puder ser representada pela difusão através de uma película, reduza a equação diferencial geral de transferência de massa para obter a equação diferencial que descreve a difusão de
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um gás chamado A que passa por uma superfície catalítica onde ocorre a reação $ 2A \rightarrow B $. Não tem reação acontecendo na fase fluida, ou seja, apenas na superfície. O produto B que é formado, difunde para fora da superfície através da fase A. A transferência de massa de A para a superfície catalítica está sendo representada pela difusão através de uma “película” (uma camada fina). O que precisamos fazer é pegar a equação diferencial geral de transferência de massa e simplificá-la para obter a equação que descreve a difusão de A nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação geral de transferência de massa. Em sistemas onde ocorre difusão, a transferência de massa pode ser descrita pela equação de Fick. A equação diferencial geral para transferência de massa em estado estacionário (sem acumulação de massa) é:
Aqui:
- $ D $ é o coeficiente de difusão,
- $ C $ é a concentração do componente A,
- $ x $ é a coordenada na direção da difusão.
Passo 3
No nosso caso, como só estamos considerando a difusão de A na película, podemos simplificar a equação. Como $ D $ é constante, a equação fica:
Isso significa que a segunda derivada da concentração em relação a $ x $ é zero, o que implica que a concentração varia linearmente através da película.
Passo 4
Mas queremos incluir a reação que ocorre na superfície. A reação $ 2A \rightarrow B $ consome o componente A na superfície. Isso introduce uma taxa de consumo de A na interface. Podemos relacionar essa taxa de consumo com o gradiente de concentração na superfície usando a condição de contorno.
A taxa de consumo de A é proporcional à velocidade da reação, que pode ser expressa como:
Onde:
- $ r_A $ é a taxa de consumo de A,
- $ k $ é a constante cinética da reação,
- $ C_s $ é a concentração de A na superfície.
Passo 5
De acordo com a lei de Fick para a transferência de massa na superfície, a taxa de transferência pela difusão é dada por:
Substituindo $ r_A $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, juntando tudo, temos a equação diferencial simplificada que descreve a difusão de A na película com a reação na superfície:
Resposta
A equação diferencial que descreve a difusão de A é:
com a condição de contorno na superfície: