Uma esfera não condutora, com raio de 6,00 cm, possui uma densidade superficial de carga uniforme de sigma=9,00 C / m^2.
(b) Calcule o campo elétrico nas seguintes distâncias do centro da esfera: i. 2,00 cm; ii. 5,90 cm; iii. 6,10 cm; e iv. 12,00 cm.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A gente tem uma esfera não condutora com raio de 6,00 cm e uma densidade superficial de carga uniforme de . A tarefa é calcular o campo elétrico em quatro diferentes distâncias do centro da esfera: 2,00 cm; 5,90 cm; 6,10 cm; e 12,00 cm. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a Lei de Gauss nos ajuda a relacionar o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. A fórmula da Lei de Gauss é:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Onde:
  • é o campo elétrico
  • é um elemento de área da superfície gaussiana
  • é a carga total dentro da superfície
  • é a permissividade do vácuo

Passo 3

Vamos calcular a carga total Q = sigma times área da superfície na esfera. A densidade superficial de carga Q = sigma times 4pi R^2 = 9,00 , C/m^2 times 4pi (0,06 , m)^2 é a carga por unidade de área. Então:
Q = 9,00 times 4pi times 0,0036 approx 9,00 times 0,045238 approx 0,407 , C áí
A área da superfície de uma esfera é dada por , onde é o raio. Então:
Calculando:

Passo 4

Agora, vamos analisar cada distância separadamente usando a Lei de Gauss.
i. oint E cdot dA = 0varepsilon0 implies E = 0
Essa distância está dentro da esfera ( E times 4pi r^2 = Qvarepsilon0 implies E = Q4pi varepsilon0 r^2 ). Como a carga está toda na superfície, não há carga dentro dessa superfície gaussiana. Portanto, E = 0,4074pi times 8,85 times 10^-12 times (0,061)^2 approx 0,4074pi times 8,85 times 10^-12 times 0,00372 approx 0,4074,145 times 10^-13 approx 9,81 times 10^11 , N/C .
Aplicando a Lei de Gauss:
E = Q4pi varepsilon0 r^2
ii. E = 0,4074pi times 8,85 times 10^-12 times (0,12)^2 approx 0,4074pi times 8,85 times 10^-12 times 0,0144 approx 0,4071,606 times 10^-12 approx 2,533 times 10^11 , N/C
Ainda dentro da esfera ( ), então o mesmo raciocínio do item i se aplica: .
iii.
Agora, (6,10 cm > 6,00 cm). A carga total está dentro da superfície gaussiana, então .
A área da superfície gaussiana é . Aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo os valores:
iv.
Também fora da esfera ( ), então usamos o mesmo procedimento do item iii:
Calculando:

Resposta

i.
ii.
iii.
iv.

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