Uma esfera não condutora sólida de raio a, tem uma densidade uniforme de carga e uma carga total . Concêntrica a esta esfera está uma casca condutora, que não está carregada, com raio interno e raio externo . Calcule o campo elétrico nas regiões em que , e .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo e quais conceitos precisamos usar para resolver.
Enunciado resumido: Temos uma esfera sólida não condutora com raio $ a $, densidade de carga uniforme $ \rho $ e carga total $ Q $. Ao seu redor, concentricamente, há uma casca condutora sem carga, com raio interno $ b $ e raio externo $ c $. Precisamos calcular o campo elétrico $ E $ nas seguintes regiões:
$ r < a $
$ a < r < b $
$ b < r < c $
$ r > c $
Conteúdo da matéria: Vamos utilizar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico em diferentes regiões ao redor e dentro da esfera e da casca condutora.
O que vamos precisar:
Entender a Lei de Gauss e como aplicá-la em simetrias esféricas.
Saber que a casca condutora inicialmente não carregada pode ter cargas induzidas devido à presença da esfera carregada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que é fundamental para calcular campos elétricos em situações com simetria. A Lei de Gauss é dada por:
Onde:
$ \mathbf{E} $ é o campo elétrico.
$ d\mathbf{A} $ é um elemento de área da superfície gaussiana.
$ Q_{enc} $ é a carga total dentro da superfície gaussiana.
$ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Vamos usar essa lei para cada região pedida.
Passo 3
Região 1: $ r < a $
Nesta região, estamos dentro da esfera não condutora carregada. Como a densidade de carga é uniforme, a carga dentro de uma esfera de raio $ r $ é proporcional ao volume.
A carga total $ Q $ está distribuída uniformemente, então a densidade de carga $ \rho $ é:
A carga dentro de uma esfera de raio $ r $ é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando $ E $:
Passo 4
Região 2: $ a < r < b $
Agora estamos entre a esfera não condutora e a casca condutora. A casca condutora, inicialmente sem carga, induz uma carga igual e oposta na superfície interna devido à presença da esfera carregada.
Portanto, a carga efetivamente “vista” pela superfície gaussiana nesta região é apenas a carga da esfera $ Q $.
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando $ E $:
Passo 5
Região 3: $ b < r < c $
Nesta região, estamos dentro da casca condutora. Importante lembrar que, no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico é zero.
Além disso, a casca não tem carga líquida total, mas possui cargas induzidas: uma carga $ -Q $ na superfície interna e uma carga $ +Q $ na superfície externa para manter a neutralidade.
Como estamos dentro da casca condutora:
Passo 6
Região 4: $ r > c $
Finalmente, estamos fora da casca condutora. A casca tem uma carga total de $ +Q $ na superfície externa, equilibrando a carga da esfera e as cargas induzidas.
Portanto, a carga total “vista” pela superfície gaussiana nesta região é $ Q + (-Q) + Q = Q $.
Aplicando a Lei de Gauss:
Isolando $ E $:
Resposta
O campo elétrico $ E® $ nas diferentes regiões é dado por: