Uma mola de constante elástica k está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa m. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que r e theta (coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é s. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
a) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2-12 k(r-s)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma mola com constante elástica k ligada a uma massa m, que pode se mover num plano horizontal usando coordenadas polares ( r e theta). Queremos encontrar a função Lagrangeana desse sistema. Para resolver, vamos precisar entender de energia cinética, energia potencial e como elas se combinam na Lagrangiana.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função Lagrangeana ( L) é dada por L = T - V, onde T é a energia cinética e V é a energia potencial.

Passo 3

Vamos calcular a energia cinética ( T) da massa. Como estamos em coordenadas polares, a energia cinética tem duas partes: uma relacionada ao movimento radial ( dotr) e outra ao movimento angular ( dottheta). A fórmula fica:
T = 12 m dotr^2 + 12 m r^2 dottheta^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial ( V). A energia potencial armazenada na mola depende de quanto ela está esticada ou comprimida, que é dado por (r - s), onde s é o comprimento natural da mola. A fórmula é:
V = 12 k (r - s)^2

Passo 5

Finalmente, montamos a Lagrangiana subtraindo a energia potencial da cinética:
L = T - V = 12 m dotr^2 + 12 m r^2 dottheta^2 - 12 k (r - s)^2

Resposta

A opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema é a) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2-12 k(r-s)^2

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