Uma esfera oca e uma esfera uniforme de mesma massa e raio rolam para baixo em um plano inclinado a partir da mesma altura sem escorregar (Figura 12). Cada uma delas se moverá horizontalmente quando deixar a rampa. Quando as esferas baterem no chão a distância da esfera oca será . Encontre a distância da esfera uniforme.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos duas esferas, uma oca e uma uniforme, ambas com massa e raio . Elas rolam sem escorregar por um plano inclinado a partir da mesma altura . Ao saírem da rampa, elas se movem horizontalmente e atingem o chão a distâncias diferentes. Sabemos que a esfera oca chega a uma distância , e queremos descobrir qual será a distância para a esfera uniforme. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica, momento de inércia, e movimento projetado.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a energia se comporta quando as esferas rolam sem escorregar. A energia potencial gravitacional no topo do plano inclinados é convertida em energia cinética de translação e rotação na base do plano. A fórmula da energia potencial é , onde é a altura.
Passo 3
A energia cinética total quando as esferas alcançam a base do plano é a soma da energia cinética de translação () e da energia cinética de rotação (), onde é o momento de inércia e é a velocidade angular.
Passo 4
Como as esferas estão rolando sem escorregar, existe uma relação entre a velocidade linear e a velocidade angular : . Substituindo isso na expressão da energia cinética de rotação, temos .
Passo 5
Assim, a energia cinética total fica:
Igualando a energia potencial à energia cinética total:
Passo 6
Resolvendo para a velocidade :
Passo 7
Agora, precisamos dos momentos de inércia para cada esfera:
Esfera oca:
Esfera uniforme:
Substituindo esses valores na equação da velocidade:
Para a esfera oca:
Para a esfera uniforme:
Passo 8
Agora que temos as velocidades finais de cada esfera ao deixarem a rampa, vamos calcular a distância que cada uma percorre horizontalmente após deixar a rampa. Supondo que o tempo de queda seja o mesmo para ambas, a distância horizontal ou pode ser calculada por:
Onde é o tempo de queda. Como ambas começam do mesmo ponto e tomam o mesmo tempo para cair, a distância é diretamente proporcional à velocidade.
Passo 9
Sabemos que para a esfera oca:
E para a esfera uniforme:
Passo 10
Podemos relacionar com dividindo as duas expressões:
Resposta
A distância que a esfera uniforme alcança é aproximadamente 1,09 vezes a distância da esfera oca.