Uma esfera oca e uma esfera uniforme de mesma massa m e raio R rolam para baixo em um plano inclinado a partir da mesma altura H sem escorregar (Figura 12). Cada uma delas se moverá horizontalmente quando deixar a rampa. Quando as esferas baterem no chão a distância da esfera oca será L. Encontre a distância L^prime da esfera uniforme.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos duas esferas, uma oca e uma uniforme, ambas com massa m e raio R. Elas rolam sem escorregar por um plano inclinado a partir da mesma altura H. Ao saírem da rampa, elas se movem horizontalmente e atingem o chão a distâncias diferentes. Sabemos que a esfera oca chega a uma distância L, e queremos descobrir qual será a distância L^prime para a esfera uniforme. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia mecânica, momento de inércia, e movimento projetado.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a energia se comporta quando as esferas rolam sem escorregar. A energia potencial gravitacional no topo do plano inclinados é convertida em energia cinética de translação e rotação na base do plano. A fórmula da energia potencial é Ep = mgh, onde h é a altura.

Passo 3

A energia cinética total quando as esferas alcançam a base do plano é a soma da energia cinética de translação ( Ecin,trans = 12mv^2) e da energia cinética de rotação ( Ecin,rot = 12Iomega^2), onde I é o momento de inércia e omega é a velocidade angular.

Passo 4

Como as esferas estão rolando sem escorregar, existe uma relação entre a velocidade linear v e a velocidade angular omega: v = omega R. Substituindo isso na expressão da energia cinética de rotação, temos Ecin,rot = 12I(vR)^2 = I v^22R^2.

Passo 5

Assim, a energia cinética total fica:
Ecin,total = 12mv^2 + I v^22R^2 = v^22(m + IR^2)
Igualando a energia potencial à energia cinética total:
mgh = v^22(m + IR^2)

Passo 6

Resolvendo para a velocidade v:
v = raiz2mghm + IR^2
v = raiz2gh1 + ImR^2

Passo 7

Agora, precisamos dos momentos de inércia para cada esfera:
  • Esfera oca: Ioca = 23mR^2
  • Esfera uniforme: Iuniforme = 25mR^2
Substituindo esses valores na equação da velocidade:
Para a esfera oca:
voca = raiz2gh1 + 23mR^2mR^2 = raiz2gh1 + 23 = raiz2gh53 = raiz6gh5
Para a esfera uniforme:
vuniforme = raiz2gh1 + 25mR^2mR^2 = raiz2gh1 + 25 = raiz2gh75 = raiz10gh7

Passo 8

Agora que temos as velocidades finais de cada esfera ao deixarem a rampa, vamos calcular a distância que cada uma percorre horizontalmente após deixar a rampa. Supondo que o tempo de queda seja o mesmo para ambas, a distância horizontal L ou L^prime pode ser calculada por:
L = v cdot t
Onde t é o tempo de queda. Como ambas começam do mesmo ponto e tomam o mesmo tempo para cair, a distância é diretamente proporcional à velocidade.

Passo 9

Sabemos que para a esfera oca:
L = voca cdot t = raiz6gh5 cdot t
E para a esfera uniforme:
L^prime = vuniforme cdot t = raiz10gh7 cdot t

Passo 10

Podemos relacionar L^prime com L dividindo as duas expressões:
L^primeL = raiz10gh7raiz6gh5 = raiz10gh7 cdot 56gh = raiz5042 = raiz2521 = 5raiz21 approx 1,09

Resposta

A distância L^prime que a esfera uniforme alcança é aproximadamente 1,09 vezes a distância L da esfera oca.

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